puedes mostras los pasos de las operaciones

¡Claro! Te mostraré cómo realizar los cálculos para cada caso utilizando la fórmula de la distribución de Poisson. La fórmula general es:

\[
P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
\]

donde:
- \( \lambda \) es la tasa promedio de eventos en el intervalo de tiempo.
- \( k \) es el número de eventos que queremos encontrar la probabilidad de ocurrencia.
- \( e \) es la base del logaritmo natural, aproximadamente igual a 2.71828.

Vamos a calcular cada una de las probabilidades solicitadas:

### a) Probabilidad de encontrar 15 personas como máximo en 15 minutos:
Aquí, \( \lambda = 20 \) y necesitamos encontrar \( P(X \leq 15) \), lo que es la suma de probabilidades desde \( k = 0 \) hasta \( k = 15 \):

\[
P(X \leq 15) = \sum_{k=0}^{15} \frac{20^k e^{-20}}{k!}
\]

Calculemos cada término y sumémoslos.

\[
P(X = 0) = \frac{20^0 \cdot e^{-20}}{0!} = \frac{1 \cdot e^{-20}}{1} \approx 0.00000206
\]

\[
P(X = 1) = \frac{20^1 \cdot e^{-20}}{1!} = \frac{20 \cdot e^{-20}}{1} \approx 0.00004121
\]

...

\[
P(X = 15) = \frac{20^{15} \cdot e^{-20}}{15!} \approx 0.0519
\]

Finalmente, sumamos todas estas probabilidades para obtener \( P(X \leq 15) \):

\[
P(X \leq 15) \approx 0.1565
\]

### b) Probabilidad de encontrar al menos 25 personas en 15 minutos:
Aquí, \( \lambda = 20 \) y necesitamos encontrar \( P(X \geq 25) \). Esto se calcula como:

\[
P(X \geq 25) = 1 - P(X < 25) = 1 - \sum_{k=0}^{24} \frac{20^k e^{-20}}{k!}
\]

Primero, calculamos la suma de probabilidades desde \( k = 0 \) hasta \( k = 24 \) y restamos del total de 1:

\[
P(X < 25) \approx 0.8432
\]

\[
P(X \geq 25) = 1 - 0.8432 = 0.1568
\]

### c) Probabilidad de encontrar entre 35 y 42 personas en 30 minutos:
Aquí, \( \lambda = 40 \) (porque 30 minutos es el doble de 15 minutos) y necesitamos encontrar \( P(35 \leq X \leq 42) \), lo que es la suma de probabilidades desde \( k = 35 \) hasta \( k = 42 \):

\[
P(35 \leq X \leq 42) = \sum_{k=35}^{42} \frac{40^k e^{-40}}{k!}
\]

Calculamos cada término y luego los sumamos:

\[
P(X = 35) \approx 0.0458, \quad P(X = 36) \approx 0.0509, \ldots, \quad P(X = 42) \approx 0.0543
\]

Sumamos estos valores:

\[
P(35 \leq X \leq 42) \approx 0.4679
\]

### d) Probabilidad de encontrar exactamente 60 personas en 45 minutos:
Aquí, \( \lambda = 60 \) (porque 45 minutos es tres veces 15 minutos) y necesitamos encontrar \( P(X = 60) \):

\[
P(X = 60) = \frac{60^{60} e^{-60}}{60!}
\]

Calculamos:

\[
P(X = 60) \approx 0.0514
\]

### e) Probabilidad de encontrar a lo sumo 85 personas en una hora:
Aquí, \( \lambda = 80 \) (porque una hora es cuatro veces 15 minutos) y necesitamos encontrar \( P(X \leq 85) \):

\[
P(X \leq 85) = \sum_{k=0}^{85} \frac{80^k e^{-80}}{k!}
\]

Sumamos todos los términos desde \( k = 0 \) hasta \( k = 85 \):

\[
P(X \leq 85) \approx 0.7345
\]

### Resumen de Resultados:
- **a)** \( P(X \leq 15) = 0.1565 \)
- **b)** \( P(X \geq 25) = 0.1568 \)
- **c)** \( P(35 \leq X \leq 42) = 0.4679 \)
- **d)** \( P(X = 60) = 0.0514 \)
- **e)** \( P(X \leq 85) = 0.7345 \)

¿Te gustaría que te explique más detalladamente algún paso o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se puede simplificar el cálculo de sumas en la distribución de Poisson?
2. ¿Qué herramientas tecnológicas existen para calcular probabilidades en distribuciones de Poisson?
3. ¿Cómo afecta el valor de \( \lambda \) a la forma de la distribución de Poisson?
4. ¿Qué aplicaciones prácticas tiene la distribución de Poisson en la vida real?
5. ¿Cuál es la relación entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson?

### Tip:
Para evitar el cálculo manual de sumas en distribuciones de Poisson, se pueden usar tablas de Poisson o software estadístico como R, Python, o incluso calculadoras científicas que tienen funciones predefinidas para ello.

Learn how to calculate probabilities using the Poisson Distribution formula with detailed step-by-step examples. Includes calculations for finding specific probabilities such as finding at most 15 people in 15 minutes, at least 25 people in 15 minutes, between 35 and 42 people in 30 minutes, exactly 60 people in 45 minutes, and at most 85 people in one hour. Explore practical applications and related questions.

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