La distribución de Poisson es utilizada para modelar el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo dado, bajo la suposición de que los eventos ocurren con una tasa promedio constante y de forma independiente. Datos del problema: Tasa promedio de llegada de clientes: 𝜆 = 20 λ=20 clientes cada 15 minutos. Cálculos necesarios: La tasa de llegada 𝜆 λ se ajustará dependiendo del tiempo del intervalo. a) Probabilidad de encontrar 15 personas como máximo en 15 minutos. Aquí utilizaremos 𝜆 = 20 λ=20, y la probabilidad es: 𝑃 ( 𝑋 ≤ 15 ) = ∑ 𝑥 = 0 15 𝜆 𝑥 𝑒 − 𝜆 𝑥 ! P(X≤15)= x=0 ∑ 15 ​ x! λ x e −λ ​ b) Probabilidad de encontrar al menos 25 personas en 15 minutos. Aquí también 𝜆 = 20 λ=20, y la probabilidad es: 𝑃 ( 𝑋 ≥ 25 ) = 1 − 𝑃 ( 𝑋 < 25 ) = 1 − ∑ 𝑥 = 0 24 𝜆 𝑥 𝑒 − 𝜆 𝑥 ! P(X≥25)=1−P(X<25)=1− x=0 ∑ 24 ​ x! λ x e −λ ​ c) Probabilidad de encontrar entre 35 y 42 personas en 30 minutos. Aquí 𝜆 = 40 λ=40 ya que estamos observando un intervalo de 30 minutos (el doble de tiempo). 𝑃 ( 35 ≤ 𝑋 ≤ 42 ) = ∑ 𝑥 = 35 42 𝜆 𝑥 𝑒 − 𝜆 𝑥 ! P(35≤X≤42)= x=35 ∑ 42 ​ x! λ x e −λ ​ d) Probabilidad de encontrar exactamente 60 personas en 45 minutos. Aquí 𝜆 = 60 λ=60 porque el intervalo de tiempo es tres veces mayor que 15 minutos. 𝑃 ( 𝑋 = 60 ) = 𝜆 60 𝑒 − 𝜆 60 ! P(X=60)= 60! λ 60 e −λ ​ e) Probabilidad de encontrar a lo sumo 85 personas en una hora. Aquí 𝜆 = 80 λ=80 porque una hora es cuatro veces mayor que 15 minutos. 𝑃 ( 𝑋 ≤ 85 ) = ∑ 𝑥 = 0 85 𝜆 𝑥 𝑒 − 𝜆 𝑥 ! P(X≤85)= x=0 ∑ 85 ​ x! λ x e −λ ​ Voy a calcular estas probabilidades. Aquí están las probabilidades calculadas utilizando la distribución de Poisson: a) Probabilidad de encontrar 15 personas como máximo en 15 minutos: 0.1565 0.1565. b) Probabilidad de encontrar al menos 25 personas en 15 minutos: 0.1568 0.1568. c) Probabilidad de encontrar entre 35 y 42 personas en 30 minutos: 0.4679 0.4679. d) Probabilidad de encontrar exactamente 60 personas en 45 minutos: 0.0514 0.0514. e) Probabilidad de encontrar a lo sumo 85 personas en una hora: 0.7345 0.7345. ​