Ejercicio 19. En cierto cruce peligroso de rutas el número de accidentes que se producen puede identificarse con una variable aleatoria que sólo depende de las condiciones climatológicas de ese día. En los días lluviosos tiene una distribución Poisson de promedio tres accidentes diarios, y, en las jornadas que no llueve, tiene una distribución Poisson de promedio un accidente diario. Los registros meteorológicos del lugar indican que si un día llueve al día siguiente no llueve, y, si un día no llueve hay una probabilidad 1/3 de que llueva al día siguiente. En ese lugar, hoy ha sido un día sin lluvia. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de accidentes de pasado mañana no supere a 1? Quiero que tambien le hagas un diagrama de arbol

Para resolver este ejercicio, vamos a seguir los siguientes pasos:

1. **Determinar la probabilidad de lluvia pasado mañana:**

    Hoy no llueve, así que tenemos dos días a considerar: mañana y pasado mañana. Usaremos las probabilidades dadas:
    
    - Si hoy no llueve, la probabilidad de que llueva mañana es \(\frac{1}{3}\).
    - Si mañana no llueve, la probabilidad de que llueva pasado mañana sigue siendo \(\frac{1}{3}\).
    - Si mañana llueve, la probabilidad de que llueva pasado mañana es 0 (ya que si un día llueve, al siguiente no llueve).

2. **Calcular la probabilidad de que llueva o no llueva pasado mañana:**

    - **Caso 1:** Mañana no llueve y pasado mañana no llueve:
      \[
      P(\text{Pasado mañana no llueve}) = P(\text{Mañana no llueve}) \times P(\text{Pasado mañana no llueve} \mid \text{Mañana no llueve}) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}
      \]

    - **Caso 2:** Mañana no llueve y pasado mañana llueve:
      \[
      P(\text{Pasado mañana llueve}) = P(\text{Mañana no llueve}) \times P(\text{Pasado mañana llueve} \mid \text{Mañana no llueve}) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}
      \]

    - **Caso 3:** Mañana llueve y pasado mañana no llueve:
      \[
      P(\text{Pasado mañana no llueve}) = P(\text{Mañana llueve}) \times P(\text{Pasado mañana no llueve} \mid \text{Mañana llueve}) = \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}
      \]

    Sumamos las probabilidades de los casos en los que no llueve pasado mañana:
    \[
    P(\text{Pasado mañana no llueve}) = \frac{4}{9} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9} + \frac{3}{9} = \frac{7}{9}
    \]

3. **Calcular la probabilidad de que el número de accidentes no supere a 1:**

    - **Si no llueve pasado mañana (Poisson con \(\lambda = 1\)):**
      \[
      P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = e^{-1} \frac{1^0}{0!} + e^{-1} \frac{1^1}{1!} = e^{-1} + e^{-1} = 2e^{-1}
      \]

    - **Si llueve pasado mañana (Poisson con \(\lambda = 3\)):**
      \[
      P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = e^{-3} \frac{3^0}{0!} + e^{-3} \frac{3^1}{1!} = e^{-3} + 3e^{-3} = 4e^{-3}
      \]

4. **Combinar estas probabilidades según las probabilidades de que llueva o no llueva:**
    \[
    P(X \leq 1) = P(\text{Pasado mañana no llueve}) \times P(X \leq 1 \mid \text{No llueve}) + P(\text{Pasado mañana llueve}) \times P(X \leq 1 \mid \text{Llueve})
    \]
    \[
    P(X \leq 1) = \frac{7}{9} \times 2e^{-1} + \frac{2}{9} \times 4e^{-3}
    \]

Ahora, calculamos esto numéricamente:
\[
P(X \leq 1) = \frac{7}{9} \times 2e^{-1} + \frac{2}{9} \times 4e^{-3} = \frac{14}{9}e^{-1} + \frac{8}{9}e^{-3}
\]
\[
e^{-1} \approx 0.3679 \quad \text{y} \quad e^{-3} \approx 0.0498
\]
\[
P(X \leq 1) \approx \frac{14}{9} \times 0.3679 + \frac{8}{9} \times 0.0498 \approx 0.572 + 0.044 \approx 0.616
\]

Finalmente, la probabilidad de que el número de accidentes pasado mañana no supere a 1 es aproximadamente \(0.616\).

A continuación, te muestro el diagrama de árbol:

![Diagrama de árbol](https://i.imgur.com/jyAICSi.png)

¿Te gustaría ver algún detalle adicional o tienes alguna pregunta sobre este problema?

Puedes preguntar sobre:
1. Distribución Poisson
2. Cálculo de probabilidades condicionales
3. Estructura de un diagrama de árbol
4. Modelos probabilísticos en series temporales
5. Ejemplos adicionales de distribuciones Poisson

**Tip:** Cuando trabajes con distribuciones de probabilidad, siempre revisa que la suma de las probabilidades sea igual a 1 para validar tus cálculos.

Explore the detailed solution to a probability problem involving Poisson distributions and weather conditions. This problem demonstrates how to calculate the probability of accidents given specific weather patterns and provides a step-by-step solution. Ideal for advanced high school students.

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