Se va a manufacturar una lata que almacenara 2.500 ml de líquido. Se quiere saber por el área de ingeniería:
¿Cuánto material se necesita para la construcción de la lata? Si la empresa solicita minimizar costos en la
fabricación.

Para calcular la cantidad de material necesario para construir la lata, necesitamos minimizar el área de superficie de la lata, dado que el volumen (2,500 ml) ya está fijo.

### Paso 1: Definir las variables

1. **Volumen de la lata:** \( V = 2500 \, \text{ml} = 2500 \, \text{cm}^3 \) (asumimos que la lata tiene forma cilíndrica).
2. **Radio de la base:** \( r \, (\text{cm}) \)
3. **Altura de la lata:** \( h \, (\text{cm}) \)

### Paso 2: Relación entre volumen y dimensiones

El volumen de un cilindro se calcula como:
\[
V = \pi r^2 h
\]
\[
2500 = \pi r^2 h
\]
\[
h = \frac{2500}{\pi r^2}
\]

### Paso 3: Área de superficie de la lata

El área total de la superficie \( A \) de un cilindro es la suma del área lateral y las áreas de las dos bases circulares:
\[
A = 2\pi r h + 2\pi r^2
\]
Sustituyendo \( h \) en la ecuación:
\[
A = 2\pi r \left(\frac{2500}{\pi r^2}\right) + 2\pi r^2
\]
\[
A = \frac{5000}{r} + 2\pi r^2
\]

### Paso 4: Minimización del área

Para minimizar el área, derivamos \( A \) con respecto a \( r \) y la igualamos a cero:
\[
\frac{dA}{dr} = -\frac{5000}{r^2} + 4\pi r = 0
\]
Resolviendo para \( r \):
\[
4\pi r = \frac{5000}{r^2}
\]
\[
4\pi r^3 = 5000
\]
\[
r^3 = \frac{5000}{4\pi}
\]
\[
r = \sqrt[3]{\frac{1250}{\pi}} \approx 6.203 \, \text{cm}
\]

### Paso 5: Altura óptima

Usamos el valor de \( r \) para encontrar \( h \):
\[
h = \frac{2500}{\pi (6.203)^2} \approx 10.407 \, \text{cm}
\]

### Paso 6: Área mínima de la superficie

Ahora, sustituimos \( r \) en la ecuación del área:
\[
A = \frac{5000}{6.203} + 2\pi (6.203)^2 \approx 807.991 + 241.025 \approx 1049.016 \, \text{cm}^2
\]

**Por lo tanto, se necesita aproximadamente 1049.016 cm² de material para fabricar la lata minimizando los costos.**

---

¿Te gustaría que te explique algún detalle adicional?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo cambia el área si el volumen de la lata aumenta?
2. ¿Qué impacto tendría un cambio en el costo del material en la optimización?
3. ¿Cómo influiría una restricción adicional en el diseño de la lata en los cálculos?
4. ¿Es siempre la forma cilíndrica la más eficiente para minimizar costos?
5. ¿Qué sucedería si la lata tuviera una forma diferente, como un prisma rectangular?

**Tip:** Cuando optimizas problemas geométricos, derivar la función objetivo y encontrar sus raíces es clave para hallar los valores mínimos o máximos.

Learn how to calculate the amount of material needed to construct a cylinder can with a volume of 2500 ml while minimizing costs. This problem involves geometric calculations for volume and surface area optimization, crucial for engineering and manufacturing processes.

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