Se va a manufacturar una lata que almacenara 2.500 ml de líquido. Se quiere saber por el área de ingeniería:
¿Cuánto material se necesita para la construcción de la lata? Si la empresa solicita minimizar costos en la
fabricación.

Para resolver el problema, se necesita encontrar el volumen y el área de la superficie de la lata, asumiendo que la lata tiene forma cilíndrica. La empresa solicita minimizar los costos, lo cual implica minimizar el área de la superficie (cantidad de material usado) mientras se conserva el volumen fijo de 2.500 ml (o 2.5 litros, que equivale a \(2500 \, \text{cm}^3\)).

### Datos:
- Volumen de la lata (\(V\)) = 2500 cm³.
- La lata tiene forma cilíndrica.
  
El volumen de un cilindro está dado por la fórmula:

\[
V = \pi r^2 h
\]

donde:
- \(r\) es el radio de la base de la lata.
- \(h\) es la altura de la lata.

El área de la superficie del cilindro (\(A\)) (material necesario) se compone del área de la base y del área lateral:

\[
A = 2\pi r^2 + 2\pi r h
\]

#### Minimización del área
Queremos minimizar \(A\) sujeto a la restricción de volumen \(V = \pi r^2 h = 2500 \, \text{cm}^3\). Para hacer esto, podemos expresar la altura \(h\) en términos del radio \(r\) utilizando la fórmula del volumen:

\[
h = \frac{2500}{\pi r^2}
\]

Luego sustituimos esta expresión de \(h\) en la fórmula del área \(A\):

\[
A(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{2500}{\pi r^2} \right)
\]

Simplificamos:

\[
A(r) = 2\pi r^2 + \frac{5000}{r}
\]

Ahora, para minimizar \(A(r)\), derivamos \(A(r)\) con respecto a \(r\) y encontramos el valor crítico:

\[
\frac{dA}{dr} = 4\pi r - \frac{5000}{r^2}
\]

Igualamos a cero para encontrar el valor óptimo de \(r\):

\[
4\pi r - \frac{5000}{r^2} = 0
\]

Multiplicamos por \(r^2\) para eliminar el denominador:

\[
4\pi r^3 = 5000
\]

Despejamos \(r\):

\[
r^3 = \frac{5000}{4\pi}
\]

\[
r = \sqrt[3]{\frac{5000}{4\pi}}
\]

Calculamos este valor de \(r\) y luego encontramos \(h\) usando la fórmula de volumen para calcular finalmente el área \(A\).

Voy a realizar los cálculos.El radio óptimo de la base de la lata es aproximadamente \( r = 7.36 \, \text{cm} \), y la altura correspondiente es \( h = 14.71 \, \text{cm} \). 

El área mínima de la superficie necesaria para construir la lata es de \( A = 1019.71 \, \text{cm}^2 \).

Esto representa la cantidad mínima de material que se necesita para fabricar la lata, minimizando costos.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo influiría un cambio en el volumen de la lata en el área mínima?
2. ¿Qué pasaría si el diseño de la lata no fuera cilíndrico sino de otra forma?
3. ¿Cómo se puede aplicar este mismo principio a otros objetos con volumen fijo?
4. ¿Qué sucedería si el material de la tapa y el cuerpo de la lata fueran diferentes?
5. ¿Cómo se podrían optimizar más los costos si la lata tuviera un espesor de material variable?

**Tip**: La forma cilíndrica es óptima para muchos recipientes porque minimiza el área de superficie para un volumen dado, lo que reduce los costos de materiales.

Se va a manufacturar una lata que almacenará 2.500 ml de líquido. Se quiere saber por el área de ingeniería: ¿Cuánto material se necesita para la construcción de la lata? Si la empresa solicita minimizar costos en la fabricación.

Descubre cómo minimizar la cantidad de material para fabricar una lata cilíndrica de 2.500 ml utilizando principios de cálculo y optimización. Este problema cubre conceptos geométricos clave como el volumen y el área de superficie, y es adecuado para estudiantes de grados 11-12.

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