Emilia Gutierrez decide depositar en un determinado momento una suma de dinero,  ya que desea  constituir un fondo de aquí a doce meses con capitalización mensual. En la operación se utilizó una TEA de  0,65. Realiza, adicionalmente, tres depósitos extraordinarios al FINAL de los meses 4, 8 y 9. Al final del mes 4 depositó $50000, en el final del 8 depositó $60000, y al final del mes 9 depositó $90000.  Si al finalizar el plazo obtiene en total $ 448969,77

Este problema se refiere a la constitución de un fondo con depósitos periódicos bajo una tasa efectiva anual (TEA), con capitalización mensual, lo que significa que los intereses se calculan y suman al capital cada mes.

### Paso 1: Entender la fórmula de capitalización mensual

La tasa efectiva anual (TEA) del 0,65, debe ser convertida a una tasa efectiva mensual (TEM), que será utilizada para calcular los intereses de cada mes. La relación entre TEA y TEM es la siguiente:

\[
(1 + \text{TEA}) = (1 + \text{TEM})^{12}
\]

Por lo tanto, podemos despejar la TEM de la siguiente manera:

\[
\text{TEM} = (1 + 0,65)^{\frac{1}{12}} - 1
\]

### Paso 2: Fórmula para el capital final

El capital total final $ C_{12} $ que se tiene al cabo de 12 meses con capitalización mensual sigue la fórmula del valor futuro con depósitos adicionales. Esto incluye tanto el depósito inicial $ P $ como los depósitos extraordinarios que se realizan en los meses 4, 8 y 9:

\[
C_{12} = P(1 + \text{TEM})^{12} + 50000(1 + \text{TEM})^{8} + 60000(1 + \text{TEM})^{4} + 90000(1 + \text{TEM})^{3}
\]

Donde:
- $ P $ es el monto inicial depositado (que es desconocido),
- $ \text{TEM} $ es la tasa efectiva mensual,
- Los depósitos extraordinarios de $50,000, $60,000 y $90,000 se suman al final de los meses 4, 8 y 9 respectivamente.

### Paso 3: Resolver para $ P $

Ya sabemos que el valor final $ C_{12} = 448969.77 $. Ahora, usando la fórmula anterior, podemos despejar $ P $, el depósito inicial que Emilia debe haber realizado.

Voy a calcularlo ahora.El monto inicial que Emilia Gutiérrez debió depositar es aproximadamente **$125,000** para que, con los depósitos extraordinarios y la capitalización mensual a una TEA de 0.65, alcanzara un valor final de **$448,969.77** al cabo de 12 meses.

¿Te gustaría más detalles sobre los cálculos o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el cambio de la tasa de interés al monto total acumulado?
2. ¿Qué sucedería si los depósitos extraordinarios se hicieran en diferentes meses?
3. ¿Cómo se calcula la TEA a partir de una TEM conocida?
4. ¿Qué pasa si los depósitos son al principio de cada mes en lugar del final?
5. ¿Cómo influyen los intereses compuestos en el valor final del fondo?

### Tip:
Para proyectos de ahorro a largo plazo, es importante considerar tanto la frecuencia de los depósitos como la periodicidad de la capitalización para maximizar los rendimientos.

Emilia Gutierrez decide depositar en un determinado momento una suma de dinero, ya que desea constituir un fondo de aquí a doce meses con capitalización mensual. En la operación se utilizó una TEA de 0,65. Realiza, adicionalmente, tres depósitos extraordinarios al FINAL de los meses 4, 8 y 9. Al final del mes 4 depositó $50000, en el final del 8 depositó $60000, y al final del mes 9 depositó $90000. Si al finalizar el plazo obtiene en total $448969,77.

This example demonstrates how to calculate the future value of an investment with monthly capitalization at a 0.65 TEA, including additional deposits at months 4, 8, and 9. Learn how to apply compound interest formulas and calculate the required initial deposit for a final amount of $448,969.77 after 12 months.

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