次の数列の初項から第 n 項までの和を求めよ。
(1) 2 · 1
2
, 3 · 2
2
, 4 · 3
2
, · · ·
(2) 1
2 + 1, 3
2 + 2, 5
2 + 3, · · ·
(3) 2 − 1, 2
2 − 1, 2
3 − 1, · · ·
(4) 1 · 1 · 3, 2 · 3 · 5, 3 · 5 · 7, · · ·

これらの数列の初項から第 \( n \) 項までの和を求めるためには、それぞれの数列の一般項をまず求め、その後、その和を計算する必要があります。

### (1) 数列: \( 2 \cdot 1^2, 3 \cdot 2^2, 4 \cdot 3^2, \dots \)

この数列の一般項を考えます。

一般項 \( a_n = (n+1) \cdot n^2 \)

初項から第 \( n \) 項までの和 \( S_n \) は、次のように計算されます:

\[
S_n = \sum_{k=1}^{n} (k+1)k^2 
\]
これを簡単にするために展開すると、
\[
S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + k^2)
\]

それぞれの和を求める公式を使用して解くことができますが、次の公式を適用します:

\[
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]
\[
\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
\]

したがって、和は次のようになります:

\[
S_n = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

### (2) 数列: \( 1^2 + 1, 3^2 + 2, 5^2 + 3, \dots \)

一般項を求めます:

\[
a_n = (2n-1)^2 + n
\]

したがって、初項から第 \( n \) 項までの和 \( S_n \) は次のようになります:

\[
S_n = \sum_{k=1}^{n} ((2k-1)^2 + k)
\]

この和を公式を使って計算する必要がありますが、直接計算することができます。

### (3) 数列: \( 2^1 - 1, 2^2 - 1, 2^3 - 1, \dots \)

一般項は次のようになります:

\[
a_n = 2^n - 1
\]

したがって、初項から第 \( n \) 項までの和 \( S_n \) は次のようになります:

\[
S_n = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1)
\]

これを展開すると:

\[
S_n = (2^1 + 2^2 + \dots + 2^n) - n
\]

初項から第 \( n \

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