Un árbol de 16 m proyecta una sombra de 12 m y forma un ángulo con el piso. Deter- mina el valor de sen tetha. 

Para determinar el valor de \( \sin(\theta) \) en este problema, podemos utilizar la relación trigonométrica básica que involucra el seno, que se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

En este caso:

- La altura del árbol es \( 16 \) metros (que es el cateto opuesto al ángulo \( \theta \)).
- La longitud de la sombra es \( 12 \) metros (que es el cateto adyacente al ángulo \( \theta \)).

### Paso 1: Calcular la hipotenusa
Primero, necesitamos calcular la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras:

\[
\text{Hipotenusa} = \sqrt{(16^2) + (12^2)}
\]

\[
\text{Hipotenusa} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \text{ metros}
\]

### Paso 2: Calcular \( \sin(\theta) \)
El seno del ángulo \( \theta \) es la relación entre el cateto opuesto (la altura del árbol) y la hipotenusa:

\[
\sin(\theta) = \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{16}{20} = 0.8
\]

### Respuesta final
El valor de \( \sin(\theta) \) es \( 0.8 \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se calcula \( \cos(\theta) \) y \( \tan(\theta) \) en este mismo problema?
2. ¿Cómo afecta la longitud de la sombra al ángulo \( \theta \)?
3. ¿Cómo se aplican estas relaciones trigonométricas en situaciones del mundo real?
4. ¿Qué ocurre con \( \theta \) si la altura del árbol aumenta pero la sombra permanece igual?
5. ¿Cómo se puede verificar el resultado usando una calculadora científica?

**Tip:** Familiarízate con las relaciones trigonométricas básicas (\( \sin \), \( \cos \), \( \tan \)) y su aplicación en triángulos rectángulos para resolver problemas de geometría y trigonometría de manera eficiente.

Learn how to calculate the value of sin(theta) in a trigonometry problem involving a 16m tree casting a 12m shadow. This problem utilizes the sine function and Pythagorean theorem, focusing on right triangle properties. Suitable for Grades 10-12 students.

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