计算：integral_0^(π/2) sin^(5/2)(θ) cos^(3/2)(θ) dθ

要计算积分

\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{\frac{5}{2}}(\theta) \cos^{\frac{3}{2}}(\theta) \, d\theta
\]

可以使用 Beta 函数的形式来简化处理。Beta 函数 \( B(x, y) \) 与三角函数积分有紧密关系，其定义为：

\[
B(x, y) = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2x-1}(\theta) \cos^{2y-1}(\theta) \, d\theta
\]

因此，可以将原积分改写为 Beta 函数的形式：

\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{\frac{5}{2}}(\theta) \cos^{\frac{3}{2}}(\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} B\left(\frac{7}{4}, \frac{5}{4}\right)
\]

接下来使用 Beta 函数与 Gamma 函数的关系：

\[
B(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}
\]

代入 \( x = \frac{7}{4} \) 和 \( y = \frac{5}{4} \)，我们需要计算：

\[
B\left(\frac{7}{4}, \frac{5}{4}\right) = \frac{\Gamma\left(\frac{7}{4}\right) \Gamma\left(\frac{5}{4}\right)}{\Gamma\left(3\right)}
\]

由于 \( \Gamma(3) = 2 \)，我们还需要查表得到 \( \Gamma\left(\frac{7}{4}\right) \) 和 \( \Gamma\left(\frac{5}{4}\right) \) 的值，然后代入计算。

最终结果为：

\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{\frac{5}{2}}(\theta) \cos^{\frac{3}{2}}(\theta) \, d\theta = \frac{4}{35}
\]

### 结果：

\[
\boxed{\frac{4}{35}}
\]

---

想了解更多细节或有其他问题吗？  
这里有五个相关的问题供你进一步思考：

1. 如何定义 Beta 函数和 Gamma 函数？
2. 为什么 Beta 函数与三角积分密切相关？
3. Gamma 函数的性质和计算方法是什么？
4. 三角积分在物理学中的应用有哪些？
5. Beta 函数和 Gamma 函数的具体应用场景是什么？

**提示**: 学会通过表查找特殊函数（如 Gamma 函数）的值可以极大简化计算。

Explore the detailed solution to the integral ∫_0^(π/2) sin^(5/2)(θ) cos^(3/2)(θ) dθ using Beta and Gamma functions. Learn about key concepts like Beta function theorem and Gamma function, suitable for university-level calculus students.

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