Se quiere medir la anchura de un río. Para ello se observa un árbol que está en la otra orilla a la parte más alta y se obtiene un ángulo de elevación de 55º. Alejándose 5m del río en la misma dirección del árbol se vuelve a medir el ángulo de elevación y se obtiene 42º. Calcula la anchura del río y la altura del árbol.

Este problema se puede resolver utilizando la trigonometría y en particular la **tangente de un ángulo**, ya que la tangente en un triángulo rectángulo es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente del ángulo. Veamos cómo.

### Definición del problema:
- \( \theta_1 = 55^\circ \): Ángulo de elevación inicial.
- \( \theta_2 = 42^\circ \): Ángulo de elevación después de moverse 5 metros.
- \( d \): Anchura del río (lo que queremos encontrar).
- \( h \): Altura del árbol (también queremos encontrarlo).
- \( 5 \, \text{m} \): Distancia que se aleja del río después de la primera medición.

### Paso 1: Relacionar las incógnitas con las tangentes
En la primera posición, usando el ángulo de elevación de \( 55^\circ \), podemos escribir la ecuación para la tangente del ángulo:

\[
\tan(55^\circ) = \frac{h}{d}
\]

En la segunda posición, luego de alejarse 5 metros del río, la distancia al árbol es \( d + 5 \). La tangente del ángulo \( 42^\circ \) se puede escribir como:

\[
\tan(42^\circ) = \frac{h}{d + 5}
\]

### Paso 2: Sistema de ecuaciones
Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

1. \( h = d \cdot \tan(55^\circ) \)
2. \( h = (d + 5) \cdot \tan(42^\circ) \)

### Paso 3: Igualar las ecuaciones
Podemos igualar ambas ecuaciones para eliminar \( h \):

\[
d \cdot \tan(55^\circ) = (d + 5) \cdot \tan(42^\circ)
\]

### Paso 4: Resolver para \( d \)
Despejamos \( d \):

\[
d \cdot \tan(55^\circ) = d \cdot \tan(42^\circ) + 5 \cdot \tan(42^\circ)
\]

\[
d (\tan(55^\circ) - \tan(42^\circ)) = 5 \cdot \tan(42^\circ)
\]

\[
d = \frac{5 \cdot \tan(42^\circ)}{\tan(55^\circ) - \tan(42^\circ)}
\]

Ahora calculamos el valor numérico de \( d \).

### Paso 5: Calcular la anchura del río
Usamos los valores aproximados para las tangentes:

\[
\tan(55^\circ) \approx 1.4281, \quad \tan(42^\circ) \approx 0.9004
\]

Sustituyendo en la ecuación:

\[
d = \frac{5 \cdot 0.9004}{1.4281 - 0.9004}
\]

\[
d \approx \frac{4.502}{0.5277} \approx 8.53 \, \text{m}
\]

La anchura del río es aproximadamente \( d = 8.53 \, \text{m} \).

### Paso 6: Calcular la altura del árbol
Usamos la ecuación \( h = d \cdot \tan(55^\circ) \) para encontrar la altura del árbol:

\[
h = 8.53 \cdot 1.4281 \approx 12.18 \, \text{m}
\]

### Resultado final:
- La **anchura del río** es aproximadamente \( 8.53 \, \text{m} \).
- La **altura del árbol** es aproximadamente \( 12.18 \, \text{m} \).

---

¿Te gustaría ver más detalles de algún paso en particular o tienes alguna duda? 

Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué ocurre si los ángulos de elevación fueran iguales en ambas mediciones?
2. ¿Cómo cambiaría el resultado si te alejas 10 metros en vez de 5?
3. ¿Qué otros métodos, aparte de trigonometría, podrían usarse para medir distancias en este tipo de problemas?
4. ¿Cómo influiría un error en la medición de los ángulos en los resultados finales?
5. ¿Qué técnicas pueden usarse para medir ángulos de elevación de manera más precisa?

**Tip:** En problemas de trigonometría, a menudo es útil dibujar un diagrama para visualizar las relaciones entre ángulos y distancias.

Learn how to calculate the width of a river and the height of a tree by applying trigonometry concepts such as tangent functions in right triangles. In this example, angles of 55° and 42° are used to determine distances. Suitable for students in Grades 10-12.

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