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desarróllalo paso a paso teniendo en cuenta ambos ángulos

Vamos a resolver el problema paso a paso considerando ambos ángulos.

**Datos:**
- Masa de la esfera: \( m = 8 \, \text{kg} \)
- Aceleración de la gravedad: \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \)
- Plano liso (sin fricción)
- Ángulos:
  - Inclinación del plano: \( 37^\circ \)
  - Ángulo de la cuerda: \( 53^\circ \)

### Paso 1: Fuerzas que actúan sobre la esfera
La esfera está sometida a las siguientes fuerzas:
1. **Peso de la esfera**: \( \vec{W} = m \cdot g = 8 \, \text{kg} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 = 80 \, \text{N} \), dirigido hacia abajo (vertical).
2. **Tensión de la cuerda**: \( T \), que forma un ángulo de \( 53^\circ \) con la horizontal.
3. **Reacción normal del plano**: \( N \), perpendicular al plano inclinado.

### Paso 2: Descomposición de fuerzas
Debemos descomponer las fuerzas en componentes paralelas y perpendiculares al plano inclinado para poder aplicar la segunda ley de Newton.

1. **Peso de la esfera (\( W \))**:
   - Componente paralela al plano: \( W_{\parallel} = W \cdot \sin(37^\circ) = 80 \cdot \sin(37^\circ) \)
   - Componente perpendicular al plano: \( W_{\perp} = W \cdot \cos(37^\circ) = 80 \cdot \cos(37^\circ) \)

2. **Tensión de la cuerda (\( T \))**:
   - Componente paralela al plano: \( T_{\parallel} = T \cdot \cos(53^\circ) \)
   - Componente perpendicular al plano: \( T_{\perp} = T \cdot \sin(53^\circ) \)

### Paso 3: Aplicación de la Segunda Ley de Newton

#### Eje paralelo al plano (sumatoria de fuerzas en \( x \)):
Como el plano es liso y no hay fricción, la suma de las fuerzas en la dirección paralela al plano debe ser cero, ya que la esfera está en equilibrio.

\[
T_{\parallel} - W_{\parallel} = 0
\]

\[
T \cdot \cos(53^\circ) = 80 \cdot \sin(37^\circ)
\]

Despejamos \( T \):

\[
T = \frac{80 \cdot \sin(37^\circ)}{\cos(53^\circ)}
\]

Calculamos los valores:

\[
\sin(37^\circ) \approx 0.6018 \quad \text{y} \quad \cos(53^\circ) \approx 0.6018
\]

\[
T = \frac{80 \cdot 0.6018}{0.6018} = 80 \, \text{N}
\]

#### Eje perpendicular al plano (sumatoria de fuerzas en \( y \)):
La suma de fuerzas en la dirección perpendicular al plano también debe ser cero:

\[
N + T_{\perp} - W_{\perp} = 0
\]

\[
N + T \cdot \sin(53^\circ) = W \cdot \cos(37^\circ)
\]

Reemplazamos valores:

\[
N + 80 \cdot \sin(53^\circ) = 80 \cdot \cos(37^\circ)
\]

\[
N + 80 \cdot 0.7986 = 80 \cdot 0.7986
\]

\[
N + 63.89 = 63.89
\]

\[
N = 0 \, \text{N}
\]

**Conclusión**: El valor de la reacción del plano es \( N = 0 \, \text{N} \).

¿Tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles sobre algún paso?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se descomponen las fuerzas en un plano inclinado?
2. ¿Qué sucede cuando no hay fricción en un plano inclinado?
3. ¿Cómo influye la tensión de la cuerda en el equilibrio de la esfera?
4. ¿Qué papel juega el ángulo del plano en el cálculo de fuerzas?
5. ¿Cómo aplicar la segunda ley de Newton en sistemas con fuerzas en equilibrio?

**Tip**: Para resolver problemas de plano inclinado, siempre es útil descomponer las fuerzas en componentes paralelas y perpendiculares al plano.

La esfera que se muestra está apoyada en un plano liso. Determine el módulo de la reacción del plano. (m = 8 kg; g = 10 m/s²).

This physics problem involves calculating the reaction force on a sphere of 8 kg mass resting on a smooth inclined plane. Using Newton's second law and force decomposition, we solve for the reaction force considering a gravitational acceleration of 10 m/s² and plane angles of 37° and 53°. Suitable for students in Grades 10-12.

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