una persona obtiene un prestamo por 1'500.000 al 18% por 2 años con vencimiento el dia de hoy, acuerda pagar 700.000 de contado, 500.000 dentro de 6 meses y el saldo 1 año despues suponiendo una tasa de interes del 24% capitalizable trimestralmente para esta operacion, cual sera el valor del pago en la fecha focal dentro de 1 año 

por ecuaciones de valores equivalente - interes compuesto

Para resolver este problema, utilizaremos la **ecuación de valores equivalentes** bajo el supuesto de **interés compuesto**. La idea es encontrar el valor del saldo pendiente en la fecha focal (dentro de 1 año), teniendo en cuenta que se han realizado pagos en diferentes momentos y que el préstamo original está sujeto a una tasa de interés diferente al del acuerdo de pago.

### Datos:
- **Monto del préstamo inicial**: \( P = 1'500.000 \)
- **Tasa de interés inicial del préstamo**: \( i_0 = 18\% \) (no se usará en los cálculos porque nos enfocamos en los pagos acordados bajo la nueva tasa)
- **Tasa de interés para la operación**: \( i = 24\% \) anual capitalizable trimestralmente.
  - \( i_{\text{trimestral}} = \frac{24\%}{4} = 6\% \) trimestral.
- **Pagos acordados**:
  1. \( 700.000 \) de contado (hoy).
  2. \( 500.000 \) dentro de 6 meses.
  3. Saldo \( x \) dentro de 1 año.

### Paso 1: Llevar los valores a la fecha focal (1 año)
Debemos llevar cada pago al tiempo de la fecha focal que es dentro de 1 año (12 meses). Para esto, utilizamos la fórmula del valor futuro con interés compuesto:
\[
VF = P \left(1 + i_{\text{trimestral}}\right)^n
\]
donde:
- \( P \) es el valor presente del pago.
- \( i_{\text{trimestral}} \) es la tasa trimestral (6% en este caso).
- \( n \) es el número de periodos trimestrales entre el momento del pago y la fecha focal.

### Paso 2: Cálculos de cada pago

#### Pago de \( 700.000 \) (hoy):
Este pago es en el momento \( t = 0 \), por lo que debemos calcular su valor futuro dentro de 1 año. El tiempo hasta la fecha focal es de 4 trimestres (\( n = 4 \)).
\[
VF_{\text{hoy}} = 700.000 \times (1 + 0.06)^4
\]

#### Pago de \( 500.000 \) (dentro de 6 meses):
Este pago se realiza en \( t = 6 \) meses, o sea, 2 trimestres antes de la fecha focal. Debemos calcular su valor futuro dentro de 1 año. El tiempo hasta la fecha focal es de 2 trimestres (\( n = 2 \)).
\[
VF_{\text{6 meses}} = 500.000 \times (1 + 0.06)^2
\]

#### Saldo \( x \) (dentro de 1 año):
Este es el saldo que se debe pagar en la fecha focal, por lo que su valor ya es el valor futuro y lo representamos como \( x \).

### Paso 3: Ecuación de valores equivalentes
La ecuación de valores equivalentes establece que la suma de los valores futuros de los pagos debe ser igual al préstamo original. En este caso:
\[
VF_{\text{hoy}} + VF_{\text{6 meses}} + x = 1'500.000
\]
Sustituimos los valores:
\[
700.000 \times (1 + 0.06)^4 + 500.000 \times (1 + 0.06)^2 + x = 1'500.000
\]

### Paso 4: Resolver la ecuación
Vamos a calcular el valor futuro de los pagos y luego resolver la ecuación para encontrar \( x \).

#### Cálculo del valor futuro del pago de 700.000 (hoy):
\[
VF_{\text{hoy}} = 700.000 \times (1 + 0.06)^4 = 700.000 \times 1.26247696 \approx 883.734
\]

#### Cálculo del valor futuro del pago de 500.000 (en 6 meses):
\[
VF_{\text{6 meses}} = 500.000 \times (1 + 0.06)^2 = 500.000 \times 1.1236 = 561.800
\]

Ahora, sustituimos estos valores en la ecuación:
\[
883.734 + 561.800 + x = 1'500.000
\]
\[
x = 1'500.000 - 883.734 - 561.800 = 54.466
\]

### Resultado:
El valor del saldo que se debe pagar dentro de 1 año es aproximadamente \( 54.466 \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o alguna otra pregunta? Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la capitalización trimestral al cálculo del valor futuro?
2. ¿Qué diferencias habría si la tasa de interés fuera simple y no compuesta?
3. ¿Cómo variaría el saldo si se hiciera un pago adicional antes del vencimiento?
4. ¿Qué sucede si la tasa de interés cambia durante el periodo del préstamo?
5. ¿Cómo se aplicaría la misma metodología a un préstamo con amortización constante?

**Tip**: Siempre que se utilicen tasas capitalizables en periodos menores al año, ajusta la tasa proporcionalmente al periodo de capitalización para evitar errores en los cálculos.

Una persona obtiene un préstamo por 1'500.000 al 18% por 2 años con vencimiento el día de hoy, acuerda pagar 700.000 de contado, 500.000 dentro de 6 meses y el saldo 1 año después. Suponiendo una tasa de interés del 24% capitalizable trimestralmente para esta operación, ¿cuál será el valor del pago en la fecha focal dentro de 1 año por ecuaciones de valores equivalentes con interés compuesto?

Learn how to calculate the remaining payment for a loan of 1,500,000 with a 24% annual interest rate, compounded quarterly. This problem involves key financial math concepts such as future value and equivalent value equations. A detailed step-by-step solution is provided.

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