1-Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 de
ancho está rodeado por un camino de anchura
uniforme. Calcula la anchura de dicho camino si se
sabe que su área es de 540 m2

Para resolver el problema, debemos calcular la anchura del camino que rodea el jardín rectangular.

**Paso 1: Definir las variables**

- Sea \( L = 50 \) metros (largo del jardín).
- Sea \( A = 34 \) metros (ancho del jardín).
- Sea \( x \) la anchura del camino que queremos encontrar.
- El área total del jardín con el camino incluido será \((L + 2x) \times (A + 2x)\).
- El área del jardín sin el camino es \(L \times A\).

**Paso 2: Expresar el área del camino**

El área del camino se calcula como el área total menos el área del jardín:

\[
\text{Área del camino} = (L + 2x)(A + 2x) - L \times A
\]

Sabemos que el área del camino es de 540 m². Entonces:

\[
(L + 2x)(A + 2x) - L \times A = 540
\]

**Paso 3: Sustituir los valores conocidos**

Sustituyendo \(L = 50\) y \(A = 34\):

\[
(50 + 2x)(34 + 2x) - 50 \times 34 = 540
\]

\[
(50 + 2x)(34 + 2x) - 1700 = 540
\]

**Paso 4: Expandir y simplificar la ecuación**

Expandimos el producto:

\[
50 \times 34 + 100x + 68x + 4x^2 - 1700 = 540
\]

\[
1700 + 168x + 4x^2 - 1700 = 540
\]

\[
4x^2 + 168x = 540
\]

**Paso 5: Simplificar y resolver la ecuación cuadrática**

Dividimos toda la ecuación entre 4:

\[
x^2 + 42x = 135
\]

Luego, llevamos todos los términos a un lado:

\[
x^2 + 42x - 135 = 0
\]

**Paso 6: Resolver la ecuación cuadrática**

Utilizamos la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde \(a = 1\), \(b = 42\) y \(c = -135\):

\[
x = \frac{-42 \pm \sqrt{42^2 + 540}}{2 \times 1}
\]

\[
x = \frac{-42 \pm \sqrt{1764 + 540}}{2}
\]

\[
x = \frac{-42 \pm \sqrt{2304}}{2}
\]

\[
x = \frac{-42 \pm 48}{2}
\]

Esto da dos soluciones:

\[
x_1 = \frac{-42 + 48}{2} = \frac{6}{2} = 3
\]

\[
x_2 = \frac{-42 - 48}{2} = \frac{-90}{2} = -45
\]

Dado que la anchura no puede ser negativa, la solución es:

\[
x = 3 \text{ metros}
\]

Por lo tanto, la anchura del camino es de 3 metros.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se podría calcular el área total si la anchura del camino fuera diferente?
2. ¿Qué pasaría si el área del camino fuera diferente a 540 m²?
3. ¿Cómo cambiaría el problema si el jardín fuera un cuadrado en lugar de un rectángulo?
4. ¿Cómo se resolvería el problema si se diera el perímetro en lugar del área del camino?
5. ¿Cómo aplicar la fórmula cuadrática para resolver otras ecuaciones similares?

**Tip:** En problemas de áreas y perímetros, dibujar un esquema puede ayudarte a visualizar las relaciones entre las dimensiones y simplificar el proceso de resolución.

Learn how to calculate the width of a path around a rectangular garden given its dimensions and the area of the path. This problem involves geometry concepts and algebraic manipulation, focusing on area calculation and solving quadratic equations. Suitable for high school students.

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