La medida de un lado de un rectángulo es el doble de la otra numéricamente, el exceso
del área del rectángulo con respecto a su perímetro no es menor de 80m. Si las
longitudes
de los lados están dadas en centímetros. ¿cuál es el menor valor que puede tomar el
perímetro del rectángulo?

Denotemos las dimensiones del rectángulo como \( x \) y \( 2x \), donde \( x \) es la longitud de un lado (en centímetros) y \( 2x \) es la longitud del otro lado, ya que un lado es el doble del otro.

### 1. Área del rectángulo
El área \( A \) de un rectángulo se calcula como:
\[
A = x \cdot 2x = 2x^2
\]

### 2. Perímetro del rectángulo
El perímetro \( P \) de un rectángulo es:
\[
P = 2(x + 2x) = 6x
\]

### 3. Condición del problema
Nos dicen que el exceso del área respecto al perímetro no es menor de 80 m (8,000 cm², ya que las longitudes están en cm). Esto se expresa con la desigualdad:
\[
A - P \geq 8000
\]
Sustituyendo las expresiones del área y el perímetro:
\[
2x^2 - 6x \geq 8000
\]
\[
2x^2 - 6x - 8000 \geq 0
\]

### 4. Resolviendo la ecuación cuadrática
Dividimos entre 2 para simplificar:
\[
x^2 - 3x - 4000 \geq 0
\]

Resolvemos la ecuación cuadrática \( x^2 - 3x - 4000 = 0 \) usando la fórmula general:
\[
x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4000)}}{2(1)}
\]
\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16000}}{2}
\]
\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{16009}}{2}
\]
\[
x = \frac{3 \pm 126.45}{2}
\]

Tomamos la solución positiva:
\[
x = \frac{3 + 126.45}{2} = \frac{129.45}{2} \approx 64.725
\]

### 5. Cálculo del perímetro
El perímetro es \( P = 6x \), por lo tanto:
\[
P = 6 \times 64.725 \approx 388.35 \, \text{cm}
\]

### Respuesta final:
El menor valor que puede tomar el perímetro del rectángulo es aproximadamente **388.35 cm**.

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general?
2. ¿Cómo cambia el perímetro si el área es mayor a 8,000 cm²?
3. ¿Qué sucede si el lado más largo fuera el triple del lado más corto?
4. ¿Cómo se aplica la factorización en la ecuación cuadrática de este problema?
5. ¿Cómo cambia el área si el perímetro se reduce en 50 cm?

### Tip:
Recuerda que para resolver una ecuación cuadrática, siempre puedes aplicar la fórmula general, pero a veces la factorización es más rápida si los coeficientes son adecuados.

La medida de un lado de un rectángulo es el doble de la otra numéricamente, el exceso del área del rectángulo con respecto a su perímetro no es menor de 80m. Si las longitudes de los lados están dadas en centímetros, ¿cuál es el menor valor que puede tomar el perímetro del rectángulo?

Solve a geometric problem involving a rectangle where one side is double the other. Learn how to calculate the minimum perimeter when the area exceeds the perimeter by at least 80 square meters. This involves solving a quadratic equation and is suitable for Grades 9-10.

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