Dadas las funciones:
	M(x,y)={\mathbit{ye}}^\mathbit{x} , y , N(x,y)= y\mathbit{e}^{\mathbf{3}\mathbit{x}-\mathbf{2}}
	M(x,y)= y\mathbit{x}^\mathbf{2}-x\mathbit{y}^\mathbf{2}, y , N(x,y)= \mathbit{x}^\mathbf{2}-\mathbf{2}\mathbit{xy}
Hallar las derivadas parciales:\frac{\partialM}{\partialy},\frac{\partialN}{\partialx}.


Para resolver este problema, vamos a calcular las derivadas parciales correspondientes de las funciones dadas.

### Primer conjunto de funciones:
1. \( M(x, y) = y e^x \)
2. \( N(x, y) = y e^{3x - 2} \)

**Derivada parcial de \( M(x, y) \) con respecto a \( y \):**

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( y e^x \right)
\]

Dado que \( e^x \) es constante con respecto a \( y \):

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = e^x
\]

**Derivada parcial de \( N(x, y) \) con respecto a \( x \):**

\[
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( y e^{3x - 2} \right)
\]

Aplicamos la regla de la cadena, donde la derivada de \( e^{3x - 2} \) con respecto a \( x \) es \( 3e^{3x - 2} \):

\[
\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 3e^{3x - 2} = 3y e^{3x - 2}
\]

### Segundo conjunto de funciones:
1. \( M(x, y) = yx^2 - xy^2 \)
2. \( N(x, y) = x^2 - 2xy \)

**Derivada parcial de \( M(x, y) \) con respecto a \( y \):**

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( yx^2 - xy^2 \right)
\]

Derivamos término por término:

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = x^2 - 2xy
\]

**Derivada parcial de \( N(x, y) \) con respecto a \( x \):**

\[
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( x^2 - 2xy \right)
\]

Derivamos término por término:

\[
\frac{\partial N}{\partial x} = 2x - 2y
\]

### Resumen de las derivadas parciales:

1. Primer conjunto de funciones:
   - \( \frac{\partial M}{\partial y} = e^x \)
   - \( \frac{\partial N}{\partial x} = 3y e^{3x - 2} \)
  
2. Segundo conjunto de funciones:
   - \( \frac{\partial M}{\partial y} = x^2 - 2xy \)
   - \( \frac{\partial N}{\partial x} = 2x - 2y \)

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

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Aquí tienes 5 preguntas relacionadas que podrías considerar:

1. ¿Cómo se aplican estas derivadas parciales en el contexto de ecuaciones diferenciales parciales?
2. ¿Qué método seguirías para determinar si \( M(x, y) \) y \( N(x, y) \) forman un campo vectorial conservativo?
3. ¿Cómo se puede verificar si una ecuación diferencial es exacta usando estas derivadas parciales?
4. ¿Qué ocurre si \( M(x, y) \) y \( N(x, y) \) representan componentes de un campo vectorial?
5. ¿Cómo encontrar la función potencial si se tiene un campo vectorial conservativo?

**Tip:** Al calcular derivadas parciales, siempre verifica si una función tiene términos constantes que pueden simplificar el proceso.

Learn how to calculate partial derivatives for two sets of functions involving exponential and polynomial terms. This problem covers fundamental concepts in calculus, including the chain rule and differentiation of exponential functions.

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