Pour calculer la limite \(\ell = \lim_{n \to +\infty} u_n\), nous devons d'abord comprendre la nature de la suite \((u_n)\). 

### Analyse de la suite \((u_n)\) :

La suite \((u_n)\) est définie par récurrence avec la relation :
\[
u_{n+2} = u_{n+1} + \frac{1}{u_n}
\]
Cette relation nous donne une idée sur la croissance de la suite \((u_n)\).

### Recherche de la limite \(\ell\) :

Supposons que la suite \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell\). Si \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\), alors en passant à la limite dans la relation de récurrence :
\[
\ell = \ell + \frac{1}{\ell}
\]
Cependant, cette équation n'a de sens que si \(\frac{1}{\ell} = 0\), ce qui implique que \(\ell\) doit être infinie.

### Conclusion :

Ainsi, la limite \(\ell\) est \(\ell = +\infty\). Cela signifie que la suite \((u_n)\) diverge et tend vers l'infini lorsque \(n\) tend vers l'infini.

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Besoin d'un complément d'explication ? Voici des questions associées à explorer :

1. Pourquoi une suite diverge-t-elle au lieu de converger ?
2. Peut-on démontrer la divergence d'une suite par une autre méthode ?
3. Comment se comportent les suites définies par récurrence lorsqu'elles divergent ?
4. Quels sont les critères pour qu'une suite soit convergente ?
5. Comment une suite \((v_n)\) aide-t-elle à comprendre la convergence ou la divergence de \((u_n)\) ?

**Astuce** : Lorsqu'une suite diverge, sa récurrence ou la croissance de ses termes peut souvent indiquer clairement que sa limite est infinie.

Learn how to calculate the limit \(\ell = \lim_{n \to +\infty} u_n\) for the sequence \((u_n)\) using recursive definitions. Understand the behavior of sequences approaching infinity and the divergence of sequences. Suitable for advanced mathematics students and enthusiasts.

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