longitud de curva de y=∛x^2 entre x = 1 y x = 8

Para calcular la longitud de la curva dada por \( y = \sqrt[3]{x^2} \) entre \( x = 1 \) y \( x = 8 \), utilizamos la fórmula de la longitud de arco de una curva en un intervalo \([a, b]\):

\[
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx
\]

1. **Derivada de \( y \) respecto a \( x \):**

   Dado que \( y = \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}} \), calculamos la derivada \( \frac{dy}{dx} \):

   \[
   \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}
   \]

2. **Cuadrado de la derivada:**

   Ahora elevamos al cuadrado la derivada obtenida:

   \[
   \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\right)^2 = \frac{4}{9}x^{-\frac{2}{3}}
   \]

3. **Expresión dentro de la raíz:**

   Sustituimos el resultado anterior en la fórmula para la longitud de arco:

   \[
   L = \int_{1}^{8} \sqrt{1 + \frac{4}{9}x^{-\frac{2}{3}}} \, dx
   \]

4. **Resolución de la integral:**

   Ahora necesitamos calcular la integral:

   \[
   L = \int_{1}^{8} \sqrt{1 + \frac{4}{9}x^{-\frac{2}{3}}} \, dx
   \]

   Esta integral no tiene una solución elemental, pero se puede resolver usando métodos numéricos o tablas de integrales.

   Podemos aproximar la longitud utilizando una herramienta de integración numérica.

   ¿Te gustaría que realice esta aproximación numérica?

Learn how to calculate the length of the curve defined by y = cube root of x^2 from x = 1 to x = 8 using calculus. This problem involves finding the arc length using the integral formula L = integral from 1 to 8 of square root of (1 + (dy/dx)^2) dx.

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