https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1722115381046ryedn6lv.png

Para resolver la longitud del arco de la función \( y = \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2x} \) en el intervalo \(\left[ \frac{1}{2}, 2 \right]\), utilizamos la fórmula para la longitud de arco de una función \( y = f(x) \):

\[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \]

Primero, encontramos la derivada de \( y \):

\[ y = \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2x} \]

Derivamos respecto a \( x \):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2x} \right) \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{6} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2} \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2x^2} \]

Ahora, calculamos \( \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \):

\[ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2x^2} \right)^2 \]

\[ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \left( \frac{x^4 - 1}{2x^2} \right)^2 \]

\[ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \left( \frac{x^4 - 1}{2x^2} \right)^2 = \frac{(x^4 - 1)^2}{4x^4} \]

Finalmente, calculamos la longitud del arco:

\[ L = \int_{\frac{1}{2}}^2 \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \]

\[ L = \int_{\frac{1}{2}}^2 \sqrt{1 + \frac{(x^4 - 1)^2}{4x^4}} \, dx \]

Simplificamos la expresión dentro de la raíz:

\[ 1 + \frac{(x^4 - 1)^2}{4x^4} = \frac{4x^4 + (x^4 - 1)^2}{4x^4} \]

\[ = \frac{4x^4 + x^8 - 2x^4 + 1}{4x^4} \]

\[ = \frac{x^8 + 2x^4 + 1}{4x^4} \]

\[ = \frac{(x^4 + 1)^2}{4x^4} \]

Por lo tanto:

\[ \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} = \sqrt{\frac{(x^4 + 1)^2}{4x^4}} = \frac{x^4 + 1}{2x^2} \]

Entonces, la integral se convierte en:

\[ L = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{x^4 + 1}{2x^2} \, dx \]

\[ = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} \, dx \]

Dividimos en dos integrales:

\[ L = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^2 x^2 \, dx + \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x^2} \, dx \]

Calculamos cada integral por separado:

\[ \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^2 x^2 \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{\frac{1}{2}}^2 \]

\[ = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{24} \right) \]

\[ = \frac{1}{2} \left( \frac{64}{24} - \frac{1}{24} \right) \]

\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{63}{24} = \frac{63}{48} = \frac{21}{16} \]

Para la segunda integral:

\[ \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{\frac{1}{2}}^2 \]

\[ = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + 2 \right) \]

\[ = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) \]

\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \]

Sumamos ambas partes para obtener la longitud total del arco:

\[ L = \frac{21}{16} + \frac{3}{4} = \frac{21}{16} + \frac{12}{16} = \frac{33}{16} \]

Por lo tanto, la longitud del arco es:

\[ L = \frac{33}{16} \]

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta sobre este cálculo? Aquí hay algunas preguntas que podrías hacer:

1. ¿Cómo se derivan funciones más complejas?
2. ¿Qué otras aplicaciones tiene la longitud de arco?
3. ¿Podrías explicar cómo simplificar la raíz en la fórmula de longitud de arco?
4. ¿Qué métodos existen para calcular integrales más complicadas?
5. ¿Cómo se aplica esto en problemas de la vida real?

**Tip:** Siempre verifica cada paso en el cálculo de derivadas e integrales para asegurar la precisión en el resultado final.

Learn how to calculate the arc length of the function y = x^3/6 + 1/(2x) over the interval [1/2, 2]. This problem involves calculus concepts such as derivatives, integrals, and the arc length formula. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation