 Em um dia de verão, John estava voltando da escola. Enquanto estava ensolarado,ele estava se movendo a uma velocidade constante de "s" mi/h, onde sé um número inteiro. De repente, começou a chover e John decidiu aumentar suavelocidade para uma constante (s+1) mi/h. Quando ele chegou em casa, eledescobriu que sua velocidade média durante toda a caminhada tinha sido de 2,8mi/h. Que fração da distância John conseguiu percorrer enquanto o sol aindaestava brilhando?

Vamos resolver o problema passo a passo.

### Definição das variáveis:
- \( d_1 \): distância percorrida enquanto estava ensolarado.
- \( d_2 \): distância percorrida enquanto estava chovendo.
- \( t_1 \): tempo que John levou enquanto estava ensolarado.
- \( t_2 \): tempo que John levou enquanto estava chovendo.
- \( s \): velocidade de John enquanto estava ensolarado (em milhas por hora).
- \( s+1 \): velocidade de John enquanto estava chovendo (em milhas por hora).
- \( \text{VM} \): velocidade média total de John, que é \( 2,8 \) mi/h.

### Equações fundamentais:
- \( d_1 = s \cdot t_1 \) (distância percorrida enquanto estava ensolarado)
- \( d_2 = (s+1) \cdot t_2 \) (distância percorrida enquanto estava chovendo)
- \( t_1 + t_2 \): tempo total da caminhada.

### Velocidade média:
A velocidade média total é dada pela fórmula:
\[
\text{VM} = \frac{d_1 + d_2}{t_1 + t_2}
\]
Substituindo os valores conhecidos:
\[
2,8 = \frac{s \cdot t_1 + (s+1) \cdot t_2}{t_1 + t_2}
\]

### Expressando o tempo em termos da distância:
Podemos expressar o tempo como \( t_1 = \frac{d_1}{s} \) e \( t_2 = \frac{d_2}{s+1} \).

Vamos substituir \( t_1 \) e \( t_2 \) na equação da velocidade média:
\[
2,8 = \frac{d_1 + d_2}{\frac{d_1}{s} + \frac{d_2}{s+1}}
\]

Multiplicando ambos os lados pela soma dos tempos:
\[
2,8 \left(\frac{d_1}{s} + \frac{d_2}{s+1}\right) = d_1 + d_2
\]

Simplificando a equação:
\[
2,8 \left(\frac{d_1 (s+1) + d_2 s}{s(s+1)}\right) = d_1 + d_2
\]

Multiplicando ambos os lados por \( s(s+1) \) para eliminar os denominadores:
\[
2,8 \cdot (d_1 (s+1) + d_2 s) = (d_1 + d_2) \cdot s(s+1)
\]

Distribuindo os termos:
\[
2,8 \cdot d_1 \cdot s + 2,8 \cdot d_1 + 2,8 \cdot d_2 \cdot s = d_1 \cdot s^2 + d_1 \cdot s + d_2 \cdot s^2 + d_2 \cdot s
\]

Cancelando termos semelhantes, ficamos com:
\[
2,8 \cdot d_1 + 2,8 \cdot d_2 = d_1 \cdot s + d_2 \cdot s
\]
\[
2,8 (d_1 + d_2) = s(d_1 + d_2)
\]

Simplificando ainda mais:
\[
2,8 = s
\]

Como \( s \) deve ser um número inteiro, isso nos dá \( s = 3 \).

Agora, substituímos \( s \) de volta na fórmula para encontrar a fração da distância:
- Enquanto ensolarado: \( d_1 = 3 \cdot t_1 \)
- Enquanto chovendo: \( d_2 = 4 \cdot t_2 \)

Sabendo que \( s = 3 \) e \( \text{VM} = 2,8 \) mi/h, e usando a equação da velocidade média, a fração da distância percorrida enquanto estava ensolarado é:
\[
\text{Fração} = \frac{d_1}{d_1 + d_2} = \frac{3 \cdot t_1}{3 \cdot t_1 + 4 \cdot t_2}
\]

Como \( t_1 = t_2 \), substituímos:
\[
\text{Fração} = \frac{3 \cdot t_1}{3 \cdot t_1 + 4 \cdot t_1} = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}
\]

Portanto, a fração da distância que John conseguiu percorrer enquanto o sol ainda estava brilhando é \( \frac{3}{7} \).

**Dúvidas ou mais detalhes?**

### Questões Relacionadas:
1. Como a variação de velocidade afeta a média total?
2. Qual seria a fração se John aumentasse sua velocidade para \( s+2 \)?
3. Como a distância total impacta a velocidade média?
4. Como se calcula a média ponderada de velocidades diferentes?
5. Qual a diferença entre média aritmética e média harmônica?

**Dica:** Sempre verifique se todas as unidades de medida são consistentes ao trabalhar com fórmulas de velocidade e tempo.

Learn how to calculate the fraction of the distance John covered while the sun was shining versus when it started raining. This problem involves speed, distance, and time calculations, and it's suitable for Grades 7-9.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation