la ruta 2 termina en el pueblo Palcan y, 80km antes de ese pueblo, hay una bifurcacion donde comienza la ruta 5, oblicua a la anterior, que termina en el pueblo azangaro, a 100km de la bifurcacion. a Palcan y Azangaro los une la ruta 7, que es perpendicular a la ruta 2. calcular la distancia entre los dos pueblos

Para resolver el problema, consideremos la situación descrita como un sistema de coordenadas cartesianas.

1. **Ruta 2**: La ruta 2 es una línea recta que podemos considerar como el eje \( x \). El pueblo de Palcan está en el punto \( (80, 0) \), y la bifurcación está en el origen \( (0, 0) \).

2. **Ruta 5**: La ruta 5 comienza en la bifurcación \( (0, 0) \) y es oblicua a la ruta 2. Azángaro está a 100 km de la bifurcación. Si suponemos que la ruta 5 tiene una pendiente \( m \), podemos escribir la ecuación de la ruta 5 como \( y = mx \). Como la distancia de la bifurcación a Azángaro es 100 km, entonces:
   \[
   \sqrt{x^2 + (mx)^2} = 100
   \]
   \[
   x^2(1 + m^2) = 100^2
   \]
   \[
   x^2(1 + m^2) = 10000
   \]
   \[
   x = \frac{100}{\sqrt{1 + m^2}}
   \]
   \[
   y = \frac{100m}{\sqrt{1 + m^2}}
   \]

3. **Ruta 7**: La ruta 7 es perpendicular a la ruta 2, por lo que su pendiente es indefinida y va paralela al eje \( y \). Dado que esta ruta une Palcan y Azángaro, podemos decir que la distancia entre los dos pueblos es simplemente la distancia entre los puntos \( (80, 0) \) y \( (x, y) \).

Ahora, para encontrar la distancia entre los pueblos Palcan y Azángaro, utilizamos la fórmula de la distancia entre dos puntos:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
Reemplazamos los valores:
\[
d = \sqrt{\left(\frac{100}{\sqrt{1 + m^2}} - 80\right)^2 + \left(\frac{100m}{\sqrt{1 + m^2}} - 0\right)^2}
\]
\[
d = \sqrt{\left(\frac{100 - 80\sqrt{1 + m^2}}{\sqrt{1 + m^2}}\right)^2 + \left(\frac{100m}{\sqrt{1 + m^2}}\right)^2}
\]
Simplificando este resultado dará la distancia entre Palcan y Azángaro.

¿Te gustaría que continúe con los cálculos detallados o tienes alguna pregunta sobre lo que hemos hecho hasta ahora?

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**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se calcula la pendiente de una línea perpendicular a otra?
2. ¿Cuál es el significado de la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano?
3. ¿Cómo influye la pendiente en la forma de una línea?
4. ¿Qué otras formas existen para determinar distancias en geometría analítica?
5. ¿Qué es un triángulo rectángulo y cómo se relaciona con este problema?

**Tip**: Recuerda que al calcular distancias entre puntos en geometría, es crucial definir correctamente los ejes y puntos de referencia para simplificar el proceso.

Learn how to calculate the distance between Palcan and Azangaro using Cartesian coordinates and the distance formula. This problem involves understanding routes described in a coordinate system and applying mathematical concepts such as distance calculation and line slopes.

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