 Un autom´ovil con un valor de $20 000 se deprecia continuamente. Su valor V despu´es de t a˜nos
est´a dado por la funci´on:
V (t) = 20000e
−0,05t
¿Cu´antos a˜nos deben pasar para que el autom´ovil pierda el 50% de su valor original? (4 puntos)

Para determinar cuántos años deben pasar para que el automóvil pierda el 50% de su valor original, debemos encontrar el tiempo $ t $ tal que el valor $ V(t) $ sea igual al 50% del valor original.

### Paso 1: Plantear la ecuación

El valor original del automóvil es $20,000. El 50% de este valor es:

\[
\frac{50}{100} \times 20000 = 10000
\]

Entonces, necesitamos encontrar $ t $ tal que $ V(t) = 10000 $.

La función del valor del automóvil después de $ t $ años está dada por:

\[
V(t) = 20000e^{-0,05t}
\]

Sustituyendo $ V(t) = 10000 $ en la ecuación:

\[
10000 = 20000e^{-0,05t}
\]

### Paso 2: Resolver la ecuación para $ t $

Dividimos ambos lados de la ecuación por 20000:

\[
\frac{10000}{20000} = e^{-0,05t}
\]

\[
0,5 = e^{-0,05t}
\]

Tomamos el logaritmo natural en ambos lados para resolver para $ t $:

\[
\ln(0,5) = -0,05t
\]

### Paso 3: Calcular $ t $

Despejamos $ t $:

\[
t = \frac{\ln(0,5)}{-0,05}
\]

Ahora, calculamos $ t $.El tiempo necesario para que el automóvil pierda el 50% de su valor original es aproximadamente 13.86 años.

¿Te gustaría más detalles sobre cómo se llegó a este resultado o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes 8 preguntas relacionadas:

1. ¿Qué significa la depreciación continua en un contexto financiero?
2. ¿Cómo se deriva la fórmula de depreciación continua?
3. ¿Qué representa la constante en la ecuación de depreciación continua?
4. ¿Cómo se calcula el valor de un objeto después de un tiempo dado utilizando depreciación continua?
5. ¿Qué es el logaritmo natural y cómo se aplica en problemas de depreciación?
6. ¿Cómo se interpreta el tiempo calculado en términos prácticos?
7. ¿Qué otras fórmulas de depreciación existen y en qué contextos se usan?
8. ¿Cómo afecta una tasa de depreciación diferente al valor futuro del automóvil?

**Tip:** El logaritmo natural es una herramienta muy útil para resolver ecuaciones donde la incógnita está en el exponente, especialmente en problemas relacionados con crecimiento o decaimiento exponencial.

Learn how to calculate depreciation using continuous depreciation formula. Find out how long it takes for a $20,000 car to lose 50% of its value with a detailed step-by-step solution involving exponential decay and logarithms.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation