Qual integral dá o comprimento do arco da curva 
\[y=\cos(x)\] no intervalo 
\[[0, \pi]\]?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:
(Escolha A)   
\[\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\operatorname{sen} x}\,dx\]
A
\[\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\operatorname{sen} x}\,dx\]
(Escolha B)   
\[\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\operatorname{sen}^2x}\,dx\]
B
\[\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\operatorname{sen}^2x}\,dx\]
(Escolha C)   
\[\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos x}\,dx\]
C
\[\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos x}\,dx\]
(Escolha D)   
\[\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos^2x}\,dx\]
D
\[\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos^2x}\,dx\]

Para calcular o comprimento do arco da curva \( y = \cos(x) \) no intervalo \([0, \pi]\), utilizamos a fórmula do comprimento do arco:

\[
L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx
\]

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função \( y = \cos(x) \) em relação a \( x \):

\[
\frac{dy}{dx} = -\sin(x)
\]

Agora, substituímos essa derivada na fórmula do comprimento do arco:

\[
L = \int_0^\pi \sqrt{1 + \left(-\sin(x)\right)^2} \, dx
\]

Como \( \left(-\sin(x)\right)^2 = \sin^2(x) \), a integral se torna:

\[
L = \int_0^\pi \sqrt{1 + \sin^2(x)} \, dx
\]

Portanto, a resposta correta é:

**(Escolha B)**

\[\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\operatorname{sen}^2x}\,dx\]

---

**Quer mais detalhes ou tem alguma dúvida?**

**Aqui estão algumas perguntas relacionadas:**

1. Como se deduz a fórmula do comprimento de arco para funções em \(y = f(x)\)?
2. Como a derivada influencia a fórmula do comprimento de arco?
3. Qual é o comprimento de arco da função \( y = \cos(x) \) em outros intervalos?
4. Como integrar funções que envolvem \( \sin^2(x) \) ou \( \cos^2(x) \)?
5. Qual é a importância do comprimento de arco na geometria diferencial?
6. Como calcular o comprimento de arco para curvas paramétricas?
7. O que ocorre com o comprimento do arco se a função \( y = \cos(x) \) for deslocada verticalmente?
8. Quais são os métodos numéricos para calcular o comprimento de arco?

**Dica:** Quando a integral envolve funções trigonométricas ao quadrado, identidades trigonométricas podem simplificar a integração.

Learn how to calculate the arc length of the curve y = cos(x) over the interval [0, π]. Step-by-step solution using integral calculus, involving trigonometric functions and the arc length formula. Suitable for advanced mathematics students.

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