Qual integral dá o comprimento do arco da equação 
 
\[y=\dfrac{1}x\] do ponto 
 
\[\left(\dfrac{1}{2},2\right)\] até o ponto 
 
\[\left(2,\dfrac{1}2\right)\]?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:
(Escolha A)   
 
\[\displaystyle \int_{1/2}^2 \sqrt{1+\dfrac{1}x}\,dx\]
A
 
\[\displaystyle \int_{1/2}^2 \sqrt{1+\dfrac{1}x}\,dx\]
(Escolha B)   
 
\[\displaystyle \int_{1/2}^2 \sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\,dx\]
B
 
\[\displaystyle \int_{1/2}^2 \sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\,dx\]
(Escolha C)   
 
\[\displaystyle \int_{1/2}^2 \sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}\,dx\]
C
 
\[\displaystyle \int_{1/2}^2 \sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}\,dx\]
(Escolha D)   
 
\[\displaystyle \int_{1/2}^2 \sqrt{1+\dfrac{1}{x^4}}\,dx\]
D
 
\[\displaystyle \int_{1/2}^2 \sqrt{1+\dfrac{1}{x^4}}\,dx\]

Para determinar o comprimento do arco de uma curva dada pela equação \( y = f(x) \) entre dois pontos \( x = a \) e \( x = b \), usamos a fórmula:

\[
L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\, dx
\]

No seu caso, a curva é definida pela função \( y = \frac{1}{x} \). Primeiro, precisamos calcular a derivada dessa função em relação a \( x \):

\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}
\]

Agora, substituímos essa derivada na fórmula para o comprimento do arco:

\[
L = \int_{\frac{1}{2}}^2 \sqrt{1 + \left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}\, dx
\]

Como \( \left(-\frac{1}{x^2}\right)^2 = \frac{1}{x^4} \), a integral se torna:

\[
L = \int_{\frac{1}{2}}^2 \sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}\, dx
\]

Portanto, a resposta correta é:

**(Escolha D)**

\[\displaystyle \int_{1/2}^2 \sqrt{1+\dfrac{1}{x^4}}\,dx\]

---

**Quer mais detalhes ou tem alguma dúvida?**

**Aqui estão algumas perguntas relacionadas:**

1. Como se calcula o comprimento de arco de uma curva paramétrica?
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4. Quais são as implicações geométricas da função \( y = \frac{1}{x} \)?
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7. Como a derivada afeta o comprimento de um arco?
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**Dica:** Para curvas mais complexas, o comprimento do arco pode ser calculado numericamente se a integração simbólica for complicada.

Learn how to calculate the arc length of the curve y = 1/x from the point (1/2, 2) to (2, 1/2). Understand the integration process involving square roots and derivatives, essential for advanced high school students and calculus enthusiasts.

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