f(x)=2/5 x cos⁡(x) 	Calcula la integral indefinida de la función f(x) mediante el método de integración por partes. Anexa el procedimiento completo. 

Para calcular la integral indefinida de la función \( f(x) = \frac{2}{5} x \cos(x) \) utilizando el método de integración por partes, seguimos estos pasos:

### Paso 1: Identificar \( u(x) \) y \( dv(x) \)
El método de integración por partes se basa en la fórmula:

\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]

Para aplicar este método, elegimos:

\[
u(x) = x \quad \text{y} \quad dv(x) = \frac{2}{5} \cos(x) \, dx
\]

### Paso 2: Calcular \( du(x) \) y \( v(x) \)
Ahora, derivamos \( u(x) \) para encontrar \( du(x) \):

\[
du(x) = \frac{d}{dx}(x) \, dx = 1 \, dx
\]

A continuación, integramos \( dv(x) \) para encontrar \( v(x) \):

\[
v(x) = \int \frac{2}{5} \cos(x) \, dx
\]

La integral de \( \cos(x) \) es \( \sin(x) \), por lo tanto:

\[
v(x) = \frac{2}{5} \sin(x)
\]

### Paso 3: Aplicar la fórmula de integración por partes
Sustituimos en la fórmula de integración por partes:

\[
\int x \cdot \frac{2}{5} \cos(x) \, dx = x \cdot \frac{2}{5} \sin(x) - \int \frac{2}{5} \sin(x) \, dx
\]

### Paso 4: Resolver la integral restante
Ahora, resolvemos la integral restante:

\[
\int \frac{2}{5} \sin(x) \, dx
\]

La integral de \( \sin(x) \) es \( -\cos(x) \), por lo tanto:

\[
\int \frac{2}{5} \sin(x) \, dx = -\frac{2}{5} \cos(x)
\]

### Paso 5: Escribir la solución final
Sustituimos en la expresión original:

\[
\int \frac{2}{5} x \cos(x) \, dx = \frac{2}{5} x \sin(x) + \frac{2}{5} \cos(x) + C
\]

Donde \( C \) es la constante de integración.

### Resumen
La integral indefinida de la función \( f(x) = \frac{2}{5} x \cos(x) \) es:

\[
\int f(x) \, dx = \frac{2}{5} x \sin(x) + \frac{2}{5} \cos(x) + C
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica el método de integración por partes en otras funciones trigonométricas?
2. ¿Qué ocurre si invertimos las elecciones de \( u \) y \( dv \) en este problema?
3. ¿Cómo se interpreta geométricamente la integral indefinida obtenida?
4. ¿Qué otros métodos de integración podrían ser aplicables a esta función?
5. ¿Cómo afecta la constante de integración a la solución general de la integral?

### Tip:
Siempre es útil verificar el resultado de una integral derivando la solución obtenida para comprobar que se recupera la función original.

Aprende cómo calcular la integral indefinida de la función f(x) = (2/5) x cos(x) utilizando el método de integración por partes. Este problema cubre conceptos clave de cálculo, incluyendo funciones trigonométricas y el método de integración por partes. Adecuado para estudiantes de nivel educativo avanzado.

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