Calcule la derivada implícita de las siguientes funciones
e^(x^2 y)-e^y=x

Para encontrar la derivada implícita de la función \( e^{x^2 y} - e^y = x \), primero derivamos implícitamente ambos lados de la ecuación con respecto a \( x \). 

La función original es:
\[ e^{x^2 y} - e^y = x \]

Derivamos implícitamente ambos lados con respecto a \( x \):

1. Derivada del término \( e^{x^2 y} \):
   \[ \frac{d}{dx}\left( e^{x^2 y} \right) \]

Usamos la regla de la cadena:
\[ \frac{d}{dx}\left( e^{x^2 y} \right) = e^{x^2 y} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 y) \]

Ahora derivamos \( x^2 y \) usando la regla del producto:
\[ \frac{d}{dx}(x^2 y) = y \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(y) \]
\[ = y \cdot 2x + x^2 \cdot \frac{dy}{dx} \]
\[ = 2xy + x^2 \frac{dy}{dx} \]

Entonces:
\[ \frac{d}{dx}\left( e^{x^2 y} \right) = e^{x^2 y} \cdot (2xy + x^2 \frac{dy}{dx}) \]

2. Derivada del término \( e^y \):
\[ \frac{d}{dx}\left( e^y \right) \]

Usamos la regla de la cadena:
\[ \frac{d}{dx}\left( e^y \right) = e^y \cdot \frac{dy}{dx} \]

3. Derivada del término \( x \):
\[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \]

Ahora sustituimos las derivadas en la ecuación original:
\[ e^{x^2 y} \cdot (2xy + x^2 \frac{dy}{dx}) - e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \]

Distribuimos:
\[ e^{x^2 y} \cdot 2xy + e^{x^2 y} \cdot x^2 \frac{dy}{dx} - e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \]

Juntamos los términos con \( \frac{dy}{dx} \):
\[ e^{x^2 y} \cdot 2xy + (e^{x^2 y} \cdot x^2 - e^y) \frac{dy}{dx} = 1 \]

Despejamos \( \frac{dy}{dx} \):
\[ (e^{x^2 y} \cdot x^2 - e^y) \frac{dy}{dx} = 1 - e^{x^2 y} \cdot 2xy \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1 - e^{x^2 y} \cdot 2xy}{e^{x^2 y} \cdot x^2 - e^y} \]

Por lo tanto, la derivada implícita de \( e^{x^2 y} - e^y = x \) es:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1 - e^{x^2 y} \cdot 2xy}{e^{x^2 y} \cdot x^2 - e^y} \]

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### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué es la derivada implícita y cuándo se utiliza?
2. ¿Cómo se aplica la regla del producto en la diferenciación implícita?
3. ¿Cuál es la regla de la cadena y cómo se utiliza en la derivada implícita?
4. ¿Cómo se derivan exponenciales con funciones dentro del exponente?
5. ¿Qué diferencias hay entre derivada explícita e implícita?
6. ¿Cómo se pueden simplificar expresiones derivadas implícitamente?
7. ¿En qué situaciones se vuelve más complejo aplicar la derivada implícita?
8. ¿Cómo se interpreta geométricamente la derivada implícita?

### Tip:
Recuerda siempre revisar los pasos intermedios en la derivación implícita para evitar errores y simplificar los cálculos donde sea posible.

Learn how to calculate the implicit derivative of the function e^(x^2 y) - e^y = x with a detailed step-by-step solution. This problem involves implicit differentiation, exponential functions, the chain rule, and the product rule. Suitable for university-level students.

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