مثالی بزن که مجموعه مرتب کراندار بعد از اضافه کردن یک متر فضای متریک دیگر کراندار نباشد

برای مثال، مجموعه \( A = (0, 1) \) را در نظر بگیرید، که مجموعه‌ای مرتب کراندار در فضای متریک معمولی \( \mathbb{R} \) (فضای اعداد حقیقی با متریک معمول) است. این مجموعه کراندار است زیرا کران بالا و کران پایین دارد: کران پایین آن \( 0 \) و کران بالای آن \( 1 \) است.

حال فرض کنید که فضای متریک جدیدی تعریف کنیم که در آن فاصله بین دو عدد \( x \) و \( y \) به صورت زیر تعریف شود:

\[
d'(x, y) = \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right|
\]

در این فضای متریک جدید، مجموعه \( A = (0, 1) \) دیگر کراندار نیست. به عنوان مثال، اگر \( x \) به \( 0 \) نزدیک شود، مقدار \( d'(x, 1) \) به بی‌نهایت میل می‌کند، چون مقدار \( \frac{1}{x} \) به بی‌نهایت میل می‌کند. بنابراین، مجموعه \( A \) در این فضای متریک دیگر کراندار نخواهد بود.

### خلاصه:

- در فضای متریک معمولی (فاصله اقلیدسی)، مجموعه \( A = (0, 1) \) کراندار است.
- اما با تعریف یک متریک جدید مانند \( d'(x, y) = \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right| \)، این مجموعه دیگر کراندار نخواهد بود.

### آیا می‌خواهید جزئیات بیشتری در مورد این متریک یا کرانداری در فضاهای متریک بدانید؟

### سوالات مرتبط:
1. چگونه می‌توان کراندار بودن مجموعه‌ها را در فضای متریک بررسی کرد؟
2. تفاوت بین فضای متریک و فضای توپولوژیک چیست؟
3. آیا همیشه می‌توان یک متریک جدید تعریف کرد که مجموعه‌ای کراندار را به مجموعه‌ای نامتناهی تبدیل کند؟
4. آیا فضای متریک جدیدی وجود دارد که مجموعه‌های کراندار بیشتری را تولید کند؟
5. چگونه می‌توان کراندار بودن را در فضای‌های متریک نامتعارف بررسی کرد؟

### نکته:
تعریف متریک‌های جدید می‌تواند خواص مجموعه‌ها را تغییر دهد؛ برای بررسی دقیق باید فاصله‌ها و توپولوژی جدید را به دقت تحلیل کرد.

Explore how a bounded set, such as A = (0, 1) in the Euclidean metric, becomes unbounded after defining a new metric d'(x, y) = |1/x - 1/y|. Learn about bounded sets and metric spaces with this detailed example, suitable for undergraduate math students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation