Nous cherchons \( u_{n+1} - u_n \) en sachant que \( u_n = \frac{n - 1}{n} \).

### Étape 1 : Expression de \( u_{n+1} \)
Nous savons que :
\[
u_n = \frac{n-1}{n}
\]
Pour \( n+1 \), cela devient :
\[
u_{n+1} = \frac{(n+1)-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}
\]

### Étape 2 : Calcul de \( u_{n+1} - u_n \)
Nous devons maintenant calculer la différence \( u_{n+1} - u_n \) :
\[
u_{n+1} - u_n = \frac{n}{n+1} - \frac{n-1}{n}
\]

### Étape 3 : Réduction au même dénominateur
Pour soustraire ces deux fractions, nous devons les mettre au même dénominateur. Le dénominateur commun entre \( n(n+1) \) est :
\[
u_{n+1} - u_n = \frac{n^2}{n(n+1)} - \frac{(n-1)(n+1)}{n(n+1)}
\]

Développons l'expression :
\[
u_{n+1} - u_n = \frac{n^2 - (n^2 - 1)}{n(n+1)} = \frac{n^2 - n^2 + 1}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}
\]

### Résultat final :
\[
u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n(n+1)}
\]

Est-ce que tu aimerais plus de détails sur ce calcul ?

---

Voici 5 questions supplémentaires en lien avec ce problème :

1. Comment trouve-t-on la limite de \( u_n \) quand \( n \) tend vers l'infini ?
2. Quelle est la somme des termes \( u_n - u_{n+1} \) pour \( n \) de 1 à un certain \( N \) ?
3. Comment utiliser cette suite pour définir une série télescopique ?
4. Comment calcule-t-on la somme des inverses des produits \( 1/n(n+1) \) ?
5. Comment étudier la convergence de la suite \( u_n \) ?

**Tip** : Pour manipuler les fractions dans une suite, il est souvent utile de réduire au même dénominateur afin de simplifier les calculs.

Learn how to find the difference between consecutive terms in a sequence where u_n = (n-1)/n. This detailed solution walks through the algebraic steps of reducing fractions and applying sequence subtraction, perfect for students in Grades 9-10.

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