Método de biseccion, x^3+3x^2-8=0 ; error 10^-2

El método de bisección es un procedimiento numérico para encontrar raíces de una ecuación. El principio básico es que si una función cambia de signo en un intervalo \([a, b]\), entonces hay al menos una raíz en dicho intervalo.

La ecuación que tenemos es:

\[
f(x) = x^3 + 3x^2 - 8 = 0
\]

### Procedimiento:
1. **Identificar un intervalo** \([a, b]\) tal que \(f(a) \cdot f(b) < 0\), es decir, que la función tenga signos opuestos en los extremos del intervalo.
2. Calcular el punto medio: \(m = \frac{a+b}{2}\).
3. Evaluar \(f(m)\).
   - Si \(f(m) = 0\), entonces \(m\) es la raíz exacta.
   - Si \(f(m) \neq 0\), se sustituye el extremo del intervalo que tiene el mismo signo que \(f(m)\) con \(m\).
4. Repetir el proceso hasta que la diferencia entre \(a\) y \(b\) sea menor que el error tolerado, en este caso \(10^{-2}\) (es decir, \(0.01\)).

### Paso 1: Encontrar un intervalo inicial \([a, b]\)
Probemos con valores \(a = 1\) y \(b = 2\):

- \(f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 8 = 1 + 3 - 8 = -4\)
- \(f(2) = 2^3 + 3(2)^2 - 8 = 8 + 12 - 8 = 12\)

Tenemos que \(f(1) = -4\) y \(f(2) = 12\), lo que significa que hay un cambio de signo y, por lo tanto, una raíz en el intervalo \([1, 2]\).

### Paso 2: Calcular el punto medio
El punto medio es:

\[
m = \frac{1+2}{2} = 1.5
\]

Evaluamos \(f(1.5)\):

\[
f(1.5) = (1.5)^3 + 3(1.5)^2 - 8 = 3.375 + 6.75 - 8 = 2.125
\]

Como \(f(1.5) > 0\), ajustamos el intervalo a \([1, 1.5]\).

### Paso 3: Repetir el proceso hasta el error deseado
Vamos a continuar con el cálculo iterativamente hasta que la diferencia entre \(a\) y \(b\) sea menor que 0.01:

- Nuevo \(m = \frac{1+1.5}{2} = 1.25\)
  \[
  f(1.25) = (1.25)^3 + 3(1.25)^2 - 8 = 1.953125 + 4.6875 - 8 = -1.359375
  \]
  Como \(f(1.25) < 0\), ajustamos el intervalo a \([1.25, 1.5]\).

- Nuevo \(m = \frac{1.25+1.5}{2} = 1.375\)
  \[
  f(1.375) = (1.375)^3 + 3(1.375)^2 - 8 = 2.599609375 + 5.6640625 - 8 = 0.263671875
  \]
  Como \(f(1.375) > 0\), ajustamos el intervalo a \([1.25, 1.375]\).

- Nuevo \(m = \frac{1.25+1.375}{2} = 1.3125\)
  \[
  f(1.3125) = (1.3125)^3 + 3(1.3125)^2 - 8 = 2.263427734375 + 5.16064453125 - 8 = -0.575927734375
  \]
  Como \(f(1.3125) < 0\), ajustamos el intervalo a \([1.3125, 1.375]\).

- Nuevo \(m = \frac{1.3125+1.375}{2} = 1.34375\)
  \[
  f(1.34375) = (1.34375)^3 + 3(1.34375)^2 - 8 = 2.4302978515625 + 5.40875244140625 - 8 = -0.163818359375
  \]
  Como \(f(1.34375) < 0\), ajustamos el intervalo a \([1.34375, 1.375]\).

- Nuevo \(m = \frac{1.34375+1.375}{2} = 1.359375\)
  \[
  f(1.359375) = (1.359375)^3 + 3(1.359375)^2 - 8 = 2.5146942138671875 + 5.536651611328125 - 8 = 0.049346923828125
  \]
  Como \(f(1.359375) > 0\), ajustamos el intervalo a \([1.34375, 1.359375]\).

- Nuevo \(m = \frac{1.34375+1.359375}{2} = 1.3515625\)
  \[
  f(1.3515625) = (1.3515625)^3 + 3(1.3515625)^2 - 8 = 2.4720382690429688 + 5.4721832275390625 - 8 = -0.05780792236328125
  \]

Como \([1.3515625, 1.359375]\) tiene una diferencia de \(0.0078125 < 0.01\), la raíz aproximada es \(m = 1.35546875\).

### Resultado:
La raíz aproximada de la ecuación es \(x \approx 1.355\) con un error menor a \(10^{-2}\).

¿Te gustaría más detalles sobre este método o algún otro cálculo?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué otros métodos numéricos existen para encontrar raíces de funciones?
2. ¿Cómo afecta la selección del intervalo inicial en el método de bisección?
3. ¿Cómo se define y se controla el error en los métodos numéricos?
4. ¿Cómo se compara el método de bisección con el método de Newton-Raphson?
5. ¿Por qué es importante que la función sea continua en el método de bisección?

### Tip: El método de bisección es muy útil cuando sabes que hay una raíz en un intervalo dado, pero puede ser más lento que otros métodos para converger a una solución.

Learn how to solve the polynomial equation x^3 + 3x^2 - 8 = 0 using the bisection method with an error tolerance of 0.01. This problem demonstrates numerical methods, intermediate value theorem, and step-by-step interval reduction for students in Grades 11-12.

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