resolva as raizes das funes abaixo usando o mtodo de bisseo,adotando €< ou =0,01        x4 - 2x3 + 4x - 1.6

Para resolver a equação \( f(x) = x^4 - 2x^3 + 4x - 1.6 \) usando o método da bisseção, precisamos seguir os passos abaixo:

### Passos do Método da Bisseção:

1. **Escolher um intervalo \([a, b]\)**: Escolher um intervalo \([a, b]\) onde \( f(a) \) e \( f(b) \) tenham sinais opostos, ou seja, \( f(a) \cdot f(b) < 0 \). Isso garante que existe uma raiz dentro desse intervalo pelo Teorema do Valor Intermediário.

2. **Calcular o ponto médio \( c \)**: \( c = \frac{a + b}{2} \) e avaliar \( f(c) \).

3. **Atualizar o intervalo**:
   - Se \( f(a) \cdot f(c) < 0 \), a raiz está em \([a, c]\), então atualizamos \( b = c \).
   - Se \( f(b) \cdot f(c) < 0 \), a raiz está em \([c, b]\), então atualizamos \( a = c \).
   - Se \( f(c) = 0 \), então \( c \) é a raiz exata.

4. **Verificar a condição de parada**: Se o tamanho do intervalo \([a, b]\) for menor ou igual a 0,01, ou \( |f(c)| \) for menor que a tolerância dada (neste caso, \( \epsilon = 0,01 \)), o valor de \( c \) é a aproximação da raiz.

### Aplicando o Método

Vamos aplicar o método para a função dada. Primeiro, precisamos escolher um intervalo \([a, b]\).

Vamos testar alguns valores:

- \( f(0) = 0^4 - 2 \times 0^3 + 4 \times 0 - 1.6 = -1.6 \)
- \( f(1) = 1^4 - 2 \times 1^3 + 4 \times 1 - 1.6 = 1 - 2 + 4 - 1.6 = 1.4 \)
  
Portanto, \( f(0) \) e \( f(1) \) têm sinais opostos, então há uma raiz no intervalo \([0, 1]\).

Agora, vamos aplicar o método da bisseção nesse intervalo:

1. **Iteração 1**:
   - \( a = 0 \), \( b = 1 \)
   - \( c = \frac{0 + 1}{2} = 0.5 \)
   - \( f(0.5) = (0.5)^4 - 2(0.5)^3 + 4(0.5) - 1.6 = 0.0625 - 0.25 + 2 - 1.6 = 0.2125 \)
   
   Como \( f(0) \) e \( f(0.5) \) têm sinais opostos, a raiz está no intervalo \([0, 0.5]\).

2. **Iteração 2**:
   - \( a = 0 \), \( b = 0.5 \)
   - \( c = \frac{0 + 0.5}{2} = 0.25 \)
   - \( f(0.25) = (0.25)^4 - 2(0.25)^3 + 4(0.25) - 1.6 = 0.00390625 - 0.03125 + 1 - 1.6 = -0.62734375 \)
   
   Como \( f(0.25) \) e \( f(0.5) \) têm sinais opostos, a raiz está no intervalo \([0.25, 0.5]\).

3. **Iteração 3**:
   - \( a = 0.25 \), \( b = 0.5 \)
   - \( c = \frac{0.25 + 0.5}{2} = 0.375 \)
   - \( f(0.375) = (0.375)^4 - 2(0.375)^3 + 4(0.375) - 1.6 = 0.01977539 - 0.10546875 + 1.5 - 1.6 = -0.18569336 \)
   
   Como \( f(0.375) \) e \( f(0.5) \) têm sinais opostos, a raiz está no intervalo \([0.375, 0.5]\).

Continuaríamos assim até que o intervalo \( [a, b] \) fosse menor ou igual a 0,01.

Vou agora realizar as iterações necessárias até atingir a precisão desejada.

### Iterações Computacionais

Vou calcular para determinar a raiz com a precisão exigida.A raiz aproximada da equação \( f(x) = x^4 - 2x^3 + 4x - 1.6 \) utilizando o método da bisseção, com uma tolerância de \( \epsilon = 0,01 \), é \( x \approx 0.421875 \).

Na última iteração, o intervalo foi reduzido para \([0,40625, 0,4375]\), com a raiz aproximada \( x = 0.421875 \) e \( f(0.421875) \approx -0.03099 \).

### Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para explorar o tópico:

1. Como a escolha do intervalo inicial influencia o resultado final?
2. Qual é o papel do Teorema do Valor Intermediário no método da bisseção?
3. Como o método da bisseção se compara a outros métodos numéricos, como o método de Newton-Raphson?
4. O que aconteceria se a função não mudasse de sinal dentro do intervalo inicial escolhido?
5. Como aumentar a precisão do método da bisseção?

**Dica:** O método da bisseção é sempre convergente, mas pode ser mais lento do que outros métodos numéricos para encontrar raízes.

resolva as raizes das funes abaixo usando o mtodo de bisseo, adotando €< ou =0,01 x^4 - 2x^3 + 4x - 1.6

Learn how to solve the polynomial equation x^4 - 2x^3 + 4x - 1.6 using the bisection method with a tolerance of 0.01. This problem covers numerical methods and root-finding techniques, applying the Intermediate Value Theorem to ensure convergence. Suitable for undergraduate students studying calculus or numerical analysis.

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