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En el punto 2, se está resolviendo un problema de probabilidad en el que se quiere calcular la probabilidad de que al menos tres personas tengan una característica particular (en este caso, no especificada, pero puede ser éxito o fracaso en un experimento).

Se está utilizando una **distribución binomial**, que es común en situaciones donde hay un número fijo de intentos o experimentos (en este caso, 5 personas), y en cada intento hay dos posibles resultados (éxito o fracaso), con una probabilidad de éxito constante (en este caso, \( \frac{2}{3} \) para éxito y \( \frac{1}{3} \) para fracaso).

La ecuación general para una distribución binomial es:

\[
p(x = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]

Donde:
- \( n \) es el número de experimentos (5 personas),
- \( k \) es el número de éxitos (en este caso, queremos calcular para \( x \geq 3 \)),
- \( p \) es la probabilidad de éxito (\( \frac{2}{3} \)) y \( 1-p \) es la probabilidad de fracaso (\( \frac{1}{3} \)).

### Paso a paso de la ecuación

1. **\( p(x \geq 3) \)**: Queremos la probabilidad de que al menos 3 personas tengan éxito, es decir, la suma de \( p(x = 3) \), \( p(x = 4) \) y \( p(x = 5) \).

2. **Descomposición en sumas**:
   \[
   p(x \geq 3) = p(x = 3) + p(x = 4) + p(x = 5)
   \]
   Ahora se calcula cada término por separado usando la fórmula de la binomial.

3. **Cálculo para \( p(x = 3) \)**:
   \[
   p(x = 3) = \binom{5}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^2
   \]
   El término \( \binom{5}{3} \) es el coeficiente binomial que indica cuántas maneras hay de escoger 3 éxitos entre 5 personas. Luego, multiplicamos por las probabilidades de tener 3 éxitos y 2 fracasos.

4. **Cálculo para \( p(x = 4) \)**:
   \[
   p(x = 4) = \binom{5}{4} \left(\frac{2}{3}\right)^4 \left(\frac{1}{3}\right)^1
   \]

5. **Cálculo para \( p(x = 5) \)**:
   \[
   p(x = 5) = \binom{5}{5} \left(\frac{2}{3}\right)^5
   \]

6. **Sumamos todas las probabilidades**:
   Al sumar \( p(x = 3) + p(x = 4) + p(x = 5) \), se obtiene la probabilidad total de que al menos 3 personas tengan éxito, que es \( 0.791 \).

### Resumen
El resultado \( 0.791 \) representa la probabilidad de que al menos 3 de las 5 personas tengan éxito en un experimento donde la probabilidad de éxito en cada intento es \( \frac{2}{3} \). La suma de las probabilidades individuales para \( x = 3 \), \( x = 4 \) y \( x = 5 \) nos da este resultado.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el coeficiente binomial \( \binom{n}{k} \)?
2. ¿Qué sucede si cambiamos la probabilidad de éxito de \( \frac{2}{3} \) a otro valor?
3. ¿Cómo afecta el número de personas (n) a la probabilidad de éxito?
4. ¿Cómo se calcula la probabilidad para \( x < 3 \)?
5. ¿Cuál es la diferencia entre una distribución binomial y una distribución normal?

**Tip:** En problemas de distribución binomial, es útil recordar que la suma de todas las probabilidades para \( k = 0 \) hasta \( k = n \) es siempre 1, lo cual puede ayudarte a verificar tus resultados.

This problem explains how to calculate the probability that at least three people out of five succeed, using a binomial distribution with a success probability of 2/3. Detailed calculations for P(x=3), P(x=4), and P(x=5) are provided, resulting in a total probability of 0.791.

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