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Ja, ich werde die Aufgaben aus dem Bild durchgehen und schrittweise berechnen. Fangen wir mit der ersten Aufgabe an.

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### Aufgabe 1: 
Zwanzig zufällig ausgesuchte Personen werden befragt, ob sie an einem Sonntag geboren wurden. \( X \) ist die Anzahl der Personen, die an einem Sonntag geboren wurden.

Hier handelt es sich um eine Binomialverteilung, weil jede Person entweder an einem Sonntag geboren ist oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person an einem Sonntag geboren wurde, beträgt \( p = \frac{1}{7} \), da jeder Tag der Woche gleich wahrscheinlich ist.

Die Anzahl der Versuche \( n \) beträgt 20.

- **a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft dies auf genau 2 Personen zu?**
  
  \[
  P(X = 2) = \binom{20}{2} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^2 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{18}
  \]

- **b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft dies auf höchstens 2 Personen zu?**

  \[
  P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
  \]

- **c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft dies auf mindestens 3 Personen zu?**

  \[
  P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)
  \]

- **d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft dies auf mindestens 5 Personen zu?**

  \[
  P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4)
  \]

Ich werde diese Wahrscheinlichkeiten nun berechnen.Hier sind die Ergebnisse der Berechnungen für die erste Aufgabe:

- **a) Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Personen an einem Sonntag geboren wurden, beträgt** \( P(X = 2) \approx 0.242 \) (24,2%).
- **b) Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 Personen an einem Sonntag geboren wurden, beträgt** \( P(X \leq 2) \approx 0.440 \) (44,0%).
- **c) Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 Personen an einem Sonntag geboren wurden, beträgt** \( P(X \geq 3) \approx 0.560 \) (56,0%).
- **d) Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 5 Personen an einem Sonntag geboren wurden, beträgt** \( P(X \geq 5) \approx 0.146 \) (14,6%).

Möchtest du Details zu den Berechnungen oder hast du weitere Fragen dazu? 

Hier sind fünf weiterführende Fragen:
1. Wie berechnet man den Mittelwert einer Binomialverteilung?
2. Welche Bedeutung hat die Varianz bei der Binomialverteilung?
3. Kann man die Wahrscheinlichkeit für \( P(X = 0) \) berechnen?
4. Wie wirkt sich eine Erhöhung der Stichprobengröße \( n \) auf die Wahrscheinlichkeiten aus?
5. Wie würde sich die Wahrscheinlichkeit ändern, wenn der Wochentag zufällig ausgewählt wird?

**Tipp:** Bei einer Binomialverteilung ist die Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\).

Calculate probabilities using the binomial distribution for a scenario where 20 people are asked if they were born on a Sunday. This problem involves determining probabilities for exact, at most, and at least conditions. Explore detailed step-by-step solutions, including key concepts like combinatorics and the law of total probability.

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