a) ( u_n ) est la suite définie par ( u_n = n + \sqrt{n - 10} )

b) ( v_n ) est la suite définie par ( v_n = \frac{n^3 - 5n}{n} )

c) ( w_n ) est la suite définie par ( w_n = n^2 + (-1)^n )

d) ( a_n ) est la suite définie par ( a_n = 25 + n )

e) ( b_n ) est la suite géométrique de raison 5 et de premier terme ( b_0 = -2 )

f) ( c_{n+1} ) est défini par ( c_{n+1} = c_{n} -\frac{c_{n}}{2} )

Les suites définies sont données dans cet exercice. Voici une analyse détaillée de chacune de ces suites :

### a) Suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = n + \sqrt{n - 10} \)

- **Nature de la suite** : \( u_n \) combine un terme linéaire \( n \) et une racine carrée \( \sqrt{n - 10} \). La suite est définie pour \( n \geq 10 \) (pour que la racine carrée soit définie).
- **Comportement asymptotique** : Pour de grandes valeurs de \( n \), \( \sqrt{n - 10} \) devient négligeable par rapport à \( n \), donc \( u_n \approx n \).

### b) Suite \( (v_n) \) définie par \( v_n = \frac{n^3 - 5n}{n} \)

- **Simplification** : On peut simplifier l'expression de \( v_n \) :
  \[
  v_n = \frac{n^3 - 5n}{n} = n^2 - 5
  \]
- **Nature de la suite** : C'est une suite quadratique (polynôme du second degré) en \( n \), avec \( v_n = n^2 - 5 \). Elle croît rapidement à mesure que \( n \) augmente.

### c) Suite \( (w_n) \) définie par \( w_n = n^2 + (-1)^n \)

- **Nature de la suite** : La suite est formée d'un terme quadratique \( n^2 \) auquel on ajoute \( (-1)^n \), une fonction périodique (alternance entre +1 et -1).
  - Pour \( n \) pair, \( w_n = n^2 + 1 \).
  - Pour \( n \) impair, \( w_n = n^2 - 1 \).
- **Comportement** : La suite oscille légèrement autour de \( n^2 \).

### d) Suite \( (a_n) \) définie par \( a_n = 25 + n \)

- **Nature de la suite** : C'est une suite arithmétique avec une raison de 1. Elle est simplement linéaire et croît de 1 à chaque pas.
- **Formule explicite** : \( a_n \) est une suite très simple, où chaque terme est supérieur de 1 au terme précédent.

### e) Suite \( (b_n) \) géométrique de raison 5 avec \( b_0 = -2 \)

- **Formule explicite** : Pour une suite géométrique, chaque terme est le produit du terme précédent par la raison. Ainsi, on a :
  \[
  b_n = b_0 \times 5^n = -2 \times 5^n
  \]
- **Comportement** : Les termes de la suite croissent ou décroissent très rapidement en fonction de \( n \), en fonction de la valeur de la raison (ici 5).

### f) Suite \( (c_{n+1}) \) définie par \( c_{n+1} = c_n - \frac{c_n}{2} \)

- **Formule de récurrence** : Cette suite est définie de manière récurrente. On peut réécrire la formule comme :
  \[
  c_{n+1} = \frac{c_n}{2}
  \]
  Donc chaque terme est la moitié du terme précédent. Il s'agit donc d'une suite décroissante si \( c_n \) est positif, ou croissante si \( c_n \) est négatif, tendant vers 0.
  
### Avez-vous besoin de plus de détails sur une des suites ou une autre question spécifique ?

Voici quelques questions pour aller plus loin :
1. Quelle est la limite de la suite \( u_n \) lorsque \( n \to \infty \) ?
2. Est-il possible de trouver une somme partielle de la suite \( v_n \) pour \( n \) donné ?
3. Quelle est la valeur de \( w_n \) pour les premiers termes (par exemple pour \( n = 1, 2, 3 \)) ?
4. Quelle est la somme des 10 premiers termes de la suite \( a_n \) ?
5. Comment peut-on généraliser la formule de récurrence de \( c_n \) après plusieurs itérations ?

**Conseil** : Les suites arithmétiques et géométriques sont très utiles dans les calculs de séries et sont présentes dans de nombreux problèmes d'optimisation.

a) ( u_n ) est la suite définie par ( u_n = n + \sqrt{n - 10} )
b) ( v_n ) est la suite définie par ( v_n = \frac{n^3 - 5n}{n} )
c) ( w_n ) est la suite définie par ( w_n = n^2 + (-1)^n )
d) ( a_n ) est la suite définie par ( a_n = 25 + n )
e) ( b_n ) est la suite géométrique de raison 5 et de premier terme ( b_0 = -2 )
f) ( c_{n+1} ) est défini par ( c_{n+1} = c_{n} -\frac{c_{n}}{2} )

Explore the behavior of various sequences including arithmetic, geometric, and recursive types. This problem set examines sequences like u_n = n + √(n - 10), v_n = n^2 - 5, and others. Ideal for students in Grades 10-12, covering key concepts such as asymptotic behavior and sequence properties.

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