Etudiez les variations de la suite Un définie sur N en utilisant la méthode Un+1 -Un. la suite est : Un=3puissance n / 2 - Un

Pour étudier les variations de la suite \( U_n \) définie par :

\[
U_n = \frac{3^n}{2} - U_n
\]

nous devons utiliser la méthode \( U_{n+1} - U_n \), qui consiste à calculer la différence entre le terme suivant et le terme actuel de la suite.

### Étape 1 : Établir l'expression de \( U_{n+1} \)

Nous savons que la suite est définie par \( U_n = \frac{3^n}{2} - U_n \). Calculons maintenant l'expression pour \( U_{n+1} \) en remplaçant \( n \) par \( n+1 \) dans l'expression de \( U_n \) :

\[
U_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{2} - U_{n+1}
\]

Utilisons l'égalité \( 3^{n+1} = 3 \times 3^n \) pour réécrire \( U_{n+1} \) :

\[
U_{n+1} = \frac{3 \times 3^n}{2} - U_{n+1}
\]

### Étape 2 : Calcul de la différence \( U_{n+1} - U_n \)

Maintenant, nous devons calculer la différence entre \( U_{n+1} \) et \( U_n \), c'est-à-dire :

\[
U_{n+1} - U_n = \left( \frac{3 \times 3^n}{2} - U_{n+1} \right) - \left( \frac{3^n}{2} - U_n \right)
\]

Simplifions cette expression :

\[
U_{n+1} - U_n = \frac{3 \times 3^n}{2} - \frac{3^n}{2} - (U_{n+1} - U_n)
\]

La partie à gauche devient :

\[
U_{n+1} - U_n = \frac{(3 - 1) \times 3^n}{2} = \frac{2 \times 3^n}{2} = 3^n
\]

### Étape 3 : Interprétation des variations

La différence \( U_{n+1} - U_n = 3^n \) est toujours positive, puisque \( 3^n > 0 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). Cela signifie que la suite \( U_n \) est **strictement croissante**.

### Conclusion :
La suite \( U_n \) est strictement croissante car la différence \( U_{n+1} - U_n = 3^n \) est positive pour tout \( n \).

---

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires sur cette étude des variations ?  
Voici quelques questions pour approfondir :

1. Comment résoudre une suite définie par récurrence ?
2. Comment prouver la croissance d'une suite par la méthode des différences ?
3. Quelle est l'influence du terme \( 3^n \) sur la suite ?
4. Comment peut-on représenter graphiquement cette suite ?
5. Comment déterminer la limite d'une suite strictement croissante ?

**Tip** : Lors de l'étude des variations, la méthode des différences est essentielle pour déterminer la nature croissante ou décroissante d'une suite.

Explore the variations of the sequence Un = 3^n / 2 - Un by calculating the difference Un+1 - Un. This problem delves into recursive sequences and their exponential growth, showing that the sequence is strictly increasing for all natural numbers. Suitable for Grades 10-12.

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