Sea f una función diferenciable tal que la derivada direccional de f en el punto P(1; 2) en dirección al punto Q1(2; 2) es igual a 2 y la derivada direccional en el punto P(1; 2) en dirección al punto Q2(-2,3) es -2. Entonces la derivada direccional de f en P(1; 2) en dirección al punto R(4; 6) es: (indique con el valor numérico, use coma para los decimales y tres cifras decimales)

Para resolver este problema, primero necesitamos calcular los vectores de dirección para cada una de las derivadas direccionales dadas. Luego, usaremos estos vectores junto con la información de las derivadas direccionales dadas para calcular la derivada direccional en la dirección deseada.

### Paso 1: Calcular los vectores de dirección

1. **Dirección \( \overrightarrow{PQ_1} \)**:
   \[
   \overrightarrow{PQ_1} = Q_1 - P = (2-1, 2-2) = (1, 0)
   \]

2. **Dirección \( \overrightarrow{PQ_2} \)**:
   \[
   \overrightarrow{PQ_2} = Q_2 - P = (-2-1, 3-2) = (-3, 1)
   \]

3. **Dirección \( \overrightarrow{PR} \)**:
   \[
   \overrightarrow{PR} = R - P = (4-1, 6-2) = (3, 4)
   \]

### Paso 2: Calcular las derivadas direccionales

Dado que \( f \) es diferenciable, podemos usar la derivada direccional en términos del gradiente de \( f \):
\[
D_{\mathbf{v}}f(P) = \nabla f(P) \cdot \mathbf{v}
\]
Donde \( \mathbf{v} \) es el vector unitario en la dirección deseada.

#### Derivada direccional en dirección \( \overrightarrow{PQ_1} \):
\[
D_{\overrightarrow{PQ_1}}f(P) = \nabla f(P) \cdot \frac{\overrightarrow{PQ_1}}{\|\overrightarrow{PQ_1}\|}
\]
Como el vector \( \overrightarrow{PQ_1} = (1, 0) \) ya es unitario:
\[
D_{\overrightarrow{PQ_1}}f(P) = \nabla f(P) \cdot (1, 0) = 2
\]
Esto nos indica que la componente del gradiente en la dirección \( x \) es 2, es decir:
\[
\frac{\partial f}{\partial x}(P) = 2
\]

#### Derivada direccional en dirección \( \overrightarrow{PQ_2} \):
\[
D_{\overrightarrow{PQ_2}}f(P) = \nabla f(P) \cdot \frac{\overrightarrow{PQ_2}}{\|\overrightarrow{PQ_2}\|}
\]
El vector \( \overrightarrow{PQ_2} = (-3, 1) \) no es unitario, así que calculamos su magnitud:
\[
\|\overrightarrow{PQ_2}\| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}
\]
Entonces, el vector unitario en esa dirección es:
\[
\frac{\overrightarrow{PQ_2}}{\|\overrightarrow{PQ_2}\|} = \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}, \frac{1}{\sqrt{10}}\right)
\]
Y la derivada direccional es:
\[
-2 = \nabla f(P) \cdot \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}, \frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{10}} \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{\sqrt{10}} \frac{\partial f}{\partial y}
\]
Sustituyendo \( \frac{\partial f}{\partial x} = 2 \):
\[
-2 = -\frac{6}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}} \frac{\partial f}{\partial y}
\]
Multiplicamos por \( \sqrt{10} \) para despejar \( \frac{\partial f}{\partial y} \):
\[
-2\sqrt{10} = -6 + \frac{\partial f}{\partial y}
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = -2\sqrt{10} + 6 \approx -6,324 + 6 = -0,324
\]

### Paso 3: Calcular la derivada direccional en la dirección \( \overrightarrow{PR} \)
Primero, normalizamos el vector \( \overrightarrow{PR} = (3, 4) \):
\[
\|\overrightarrow{PR}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Entonces, el vector unitario en esa dirección es:
\[
\frac{\overrightarrow{PR}}{\|\overrightarrow{PR}\|} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)
\]
Y la derivada direccional es:
\[
D_{\overrightarrow{PR}}f(P) = \nabla f(P) \cdot \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)
\]
\[
D_{\overrightarrow{PR}}f(P) = \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{4}{5} \cdot (-0,324)
\]
Calculamos:
\[
D_{\overrightarrow{PR}}f(P) = \frac{6}{5} - \frac{1,296}{5} = \frac{6 - 1,296}{5} = \frac{4,704}{5} = 0,941
\]

### Respuesta final
La derivada direccional de \( f \) en \( P(1, 2) \) en la dirección \( \overrightarrow{PR} \) es \( \boxed{0,941} \).

¿Tienes alguna duda o necesitas más detalles sobre este procedimiento?

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### Tip
Recuerda que la derivada direccional es máxima en la dirección del gradiente y mínima en la dirección opuesta.

Aprende a calcular la derivada direccional de una función diferenciable en el punto P(1, 2) en varias direcciones. Incluye ejemplos detallados con vectores de dirección y fórmulas relevantes. Adecuado para estudiantes de secundaria avanzada.

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