aproxime el valor de la integral: integral de 1 a 5 de (cos(3x)/(x^2 + 9)) dx, con 3 sumandos y familia Chebyshev. Compare con el valormáquina, calculando el error porcentual 

Para aproximar el valor de la integral \(\int_{1}^{5} \frac{\cos(3x)}{x^2 + 9} \, dx\) usando 3 sumandos de la familia de Chebyshev y luego comparar con el valor obtenido numéricamente, seguiremos los siguientes pasos:

### 1. Expresión de la integral y transformación a Chebyshev:
La integral a aproximar es:
\[
\int_{1}^{5} \frac{\cos(3x)}{x^2 + 9} \, dx
\]
Primero, realizamos un cambio de variable para transformar el intervalo de integración \([1, 5]\) al intervalo estándar \([-1, 1]\) que se utiliza con los polinomios de Chebyshev. Si \(x(t)\) es una función que transforma \([-1, 1]\) en \([1, 5]\), se puede usar:
\[
x(t) = \frac{5-1}{2}t + \frac{5+1}{2} = 2t + 3
\]
Luego, la integral se transforma en:
\[
\int_{-1}^{1} \frac{\cos(3(2t + 3))}{(2t + 3)^2 + 9} \cdot \frac{5-1}{2} \, dt = 2 \int_{-1}^{1} \frac{\cos(6t + 9)}{4t^2 + 12t + 18} \, dt
\]

### 2. Aproximación usando la cuadratura de Chebyshev:
La fórmula de cuadratura de Chebyshev para \(n = 3\) es:
\[
\int_{-1}^{1} f(t) \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \approx \pi \sum_{i=1}^{3} w_i f(t_i)
\]
donde \(t_i\) son las raíces del polinomio de Chebyshev \(T_3(t)\) y \(w_i\) son los pesos asociados. Las raíces de \(T_3(t)\) son \(t_1 = -\sqrt{\frac{3}{5}}, t_2 = 0, t_3 = \sqrt{\frac{3}{5}}\).

Calculamos los valores en estos puntos:
- \( t_1 = -\sqrt{\frac{3}{5}}, t_2 = 0, t_3 = \sqrt{\frac{3}{5}} \)
- \( x(t_1) = 2t_1 + 3 \)
- \( x(t_2) = 2t_2 + 3 = 3 \)
- \( x(t_3) = 2t_3 + 3 \)

### 3. Cálculo numérico de la integral:
Vamos a calcular el valor de la integral numéricamente utilizando un método más preciso (como la cuadratura de Gauss o la integración numérica estándar) y luego calcular el error porcentual.

### 4. Cálculo del error porcentual:
El error porcentual se calcula como:
\[
\text{Error porcentual} = \left|\frac{\text{Aproximación Chebyshev} - \text{Valor numérico}}{\text{Valor numérico}}\right| \times 100\%
\]

Voy a proceder a realizar estos cálculos.### Resultados

1. **Aproximación usando cuadratura de Chebyshev**: \(-0.1328\)
2. **Valor numérico de la integral**: \(-0.0002266\)
3. **Error porcentual**: 58504.64%

### Análisis
El error porcentual es extremadamente alto, lo que indica que la aproximación usando 3 sumandos de la cuadratura de Chebyshev no es adecuada para esta integral. Esto puede deberse a la complejidad de la función a integrar, que no es bien capturada con solo tres puntos de evaluación.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo mejorar la precisión de la aproximación utilizando más puntos de Chebyshev?
2. ¿Qué ventajas ofrece la cuadratura de Gauss sobre la cuadratura de Chebyshev?
3. ¿Cómo influye la forma de la función en la precisión de la cuadratura de Chebyshev?
4. ¿Qué otras técnicas de integración numérica pueden ser más efectivas para este tipo de función?
5. ¿Cómo se selecciona el número óptimo de sumandos en cuadraturas numéricas?

**Tip:** A veces, usar una mayor cantidad de sumandos en cuadraturas de Chebyshev o Gauss puede mejorar significativamente la precisión en integrales más complejas.

Learn how to approximate the integral \(\int_{1}^{5} \frac{\cos(3x)}{x^2 + 9} \, dx\) using 3 summands from the Chebyshev family and compare with the machine value. Includes detailed steps, numerical calculations, and error percentage analysis.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation