aproxime el valor de la integral: integral de 1 a 5 de (cos(3x)/(x^2 + 9)) dx, con 3 sumandos y familia Chebyshev. Compare con el valormáquina, calculando el error porcentual 

Para aproximar el valor de la integral \(\int_{1}^{5} \frac{\cos(3x)}{x^2 + 9} \, dx\) usando la regla de cuadratura de Chebyshev con 3 sumandos, seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Nodos y pesos de Chebyshev
Los nodos \(\{x_i\}\) y los pesos \(\{w_i\}\) para la cuadratura de Chebyshev se calculan usando la siguiente fórmula:

- Nodos: \( x_i = \frac{a + b}{2} + \frac{b - a}{2} \cos\left(\frac{(2i - 1) \pi}{2n}\right) \)
- Pesos: \( w_i = \frac{\pi}{n} \)

donde \(n\) es el número de nodos, \(a = 1\), \(b = 5\), y \(n = 3\).

### Paso 2: Calcular la aproximación de la integral
La integral se aproxima como:

\[
I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot f(x_i)
\]

donde \(f(x) = \frac{\cos(3x)}{x^2 + 9}\).

### Paso 3: Calcular el valor real de la integral usando un método numérico
Utilizaremos un método numérico, como el de Simpson, para calcular el valor real y compararlo con la aproximación de Chebyshev.

### Paso 4: Calcular el error porcentual
El error porcentual se calcula como:

\[
\text{Error porcentual} = \left|\frac{I_{\text{aproximado}} - I_{\text{real}}}{I_{\text{real}}}\right| \times 100
\]

Voy a calcular todos estos valores ahora.### Resultados

1. **Aproximación usando la cuadratura de Chebyshev** (con 3 sumandos): \(-0.1328\)
2. **Valor real de la integral** (calculado numéricamente): \(-0.000227\)
3. **Error porcentual**: \(\approx 58504.64\%\)

### Interpretación
El error porcentual es extremadamente alto, lo que indica que la aproximación utilizando solo 3 sumandos de la cuadratura de Chebyshev es bastante imprecisa en este caso. Esto puede deberse a la naturaleza oscilatoria de la función y al hecho de que 3 sumandos pueden ser insuficientes para capturar adecuadamente el comportamiento de la función en el intervalo dado.

¿Te gustaría una explicación más detallada de alguno de los pasos? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrías explorar:

1. ¿Cómo se incrementa la precisión al aumentar el número de sumandos en la cuadratura de Chebyshev?
2. ¿Cómo se calculan los nodos y pesos de Chebyshev para un número arbitrario de sumandos?
3. ¿Qué otros métodos de cuadratura existen para mejorar la precisión de la aproximación?
4. ¿Cómo se compara la cuadratura de Chebyshev con la regla de Simpson o el método del trapecio?
5. ¿Por qué el método de cuadratura de Chebyshev puede tener dificultades con funciones altamente oscilatorias?

**Tip:** La precisión de la cuadratura de Chebyshev puede mejorarse aumentando el número de nodos, especialmente para funciones que varían rápidamente.

Learn how to approximate the integral \(\int_{1}^{5} \frac{\cos(3x)}{x^2 + 9} \, dx\) using Chebyshev quadrature with 3 nodes. Compare the result with the exact numerical value and calculate the percentage error. Explore the precision of Chebyshev quadrature for oscillatory functions.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation