Por favor aproxime el valor de la integral: integral de 1 a 5 de (cos(3x)/(x^2 + 9)) dx, con 3 sumandos y familia Chebyshev. Compare con el valormáquina, calculando el error porcentual. Explique paso a paso. 

Para aproximar la integral \(\int_{1}^{5} \frac{\cos(3x)}{x^2 + 9} \, dx\) usando una cuadratura de tres puntos de la familia de Chebyshev, y luego compararla con el valor exacto (obtenido por métodos numéricos como la cuadratura de Gauss o el valor de una calculadora científica), seguimos estos pasos:

### 1. Definición del Problema
Queremos calcular la integral:

\[
I = \int_{1}^{5} \frac{\cos(3x)}{x^2 + 9} \, dx
\]

### 2. Escogemos la Cuadratura de Chebyshev
Para una aproximación utilizando la cuadratura de Chebyshev con 3 sumandos, primero debemos recordar que para \( n = 3 \), los nodos \( x_i \) y los pesos \( w_i \) están definidos como:

- **Nodos:** \( x_i = \cos\left(\frac{2i - 1}{2n}\pi\right) \), para \( i = 1, 2, 3 \).
- **Pesos:** \( w_i = \frac{\pi}{n} \) (todos los pesos son iguales en la cuadratura de Chebyshev de primer tipo).

Sin embargo, en lugar de usar la cuadratura estándar en el intervalo \([-1, 1]\), transformamos el intervalo de integración \([1, 5]\) al intervalo \([-1, 1]\) usando la transformación:

\[
t = \frac{2x - (b+a)}{b-a}, \quad \text{donde } a = 1 \text{ y } b = 5
\]

Por lo tanto:

\[
x = 2t + 3
\]

y el diferencial se convierte en:

\[
dx = 2 \, dt
\]

La integral se transforma en:

\[
I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(3(2t + 3))}{(2t + 3)^2 + 9} \cdot 2 \, dt
\]

Aplicando la cuadratura de Chebyshev:

\[
I \approx \sum_{i=1}^{3} w_i f(x_i)
\]

donde \( x_i \) son los nodos transformados y \( f(x) \) es la función a integrar.

### 3. Cálculo con los Nodos y Pesos

Para \( n = 3 \), los nodos y pesos son:

- \( t_1 = -\sqrt{3}/2 \)
- \( t_2 = 0 \)
- \( t_3 = \sqrt{3}/2 \)

Las posiciones correspondientes \( x_i \) se obtienen sustituyendo \( t_i \) en la transformación:

- \( x_1 = 2(-\sqrt{3}/2) + 3 \)
- \( x_2 = 2(0) + 3 = 3 \)
- \( x_3 = 2(\sqrt{3}/2) + 3 \)

Y el valor de la función en cada nodo se calcula:

\[
f(x) = \frac{\cos(3x)}{x^2 + 9}
\]

El valor aproximado de la integral se obtiene sumando estos valores multiplicados por los pesos.

### 4. Valor Numérico Exacto
Calculamos el valor exacto de la integral usando métodos numéricos, como cuadratura de Gauss.

### 5. Error Porcentual
Finalmente, comparamos el valor aproximado con el valor numérico exacto y calculamos el error porcentual:

\[
\text{Error porcentual} = \left|\frac{I_{\text{exacto}} - I_{\text{aproximado}}}{I_{\text{exacto}}}\right| \times 100
\]

Voy a realizar estos cálculos ahora.### Resultados

1. **Valor Exacto de la Integral:**
   \[
   I_{\text{exacto}} = -0.000227 \, (\text{aproximadamente})
   \]

2. **Valor Aproximado usando Cuadratura de Chebyshev (3 puntos):**
   \[
   I_{\text{aproximado}} = -0.26565 \, (\text{aproximadamente})
   \]

3. **Error Porcentual:**
   \[
   \text{Error porcentual} \approx 117109.27\% 
   \]

### Análisis

El error porcentual es extremadamente alto, lo que indica que la cuadratura de Chebyshev con solo 3 sumandos no es adecuada para esta integral. La causa del error puede deberse a la alta frecuencia de la función oscilante \( \cos(3x) \) o la distribución no uniforme de la función en el intervalo dado, lo que hace que tres puntos sean insuficientes para una buena aproximación.

### Conclusión

La cuadratura de Chebyshev con tres puntos es demasiado burda para aproximar con precisión la integral. Para mejorar la precisión, sería necesario usar más puntos o aplicar una cuadratura diferente que se adapte mejor a las características de la función.

---

¿Te gustaría explorar más detalles sobre estos métodos o realizar otros cálculos? Aquí tienes algunas preguntas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo mejorar la aproximación usando más puntos de Chebyshev?
2. ¿Qué es una cuadratura de Gauss y cómo se compara con la de Chebyshev?
3. ¿Por qué funciones oscilantes como el coseno complican la integración numérica?
4. ¿Qué sucede si cambiamos el intervalo de integración?
5. ¿Cómo afectan los extremos del intervalo a la precisión de la cuadratura?

**Tip:** En problemas con funciones oscilantes, es recomendable utilizar más puntos en la cuadratura para capturar mejor las oscilaciones.

Explore the approximation of the integral ∫(cos(3x)/(x^2 + 9)) dx from 1 to 5 using Chebyshev quadrature with 3 nodes. Understand the transformation of integration limits and the calculation of percentage error compared to exact numerical methods.

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