Hallar el valor de: 
�
�𝑜𝑠(0.001) 
Aplicando del polinomio de Taylor de orden 3, con 𝑥0 = 0

Para hallar el valor de \( f(x) = \cos(0.001) \) usando el polinomio de Taylor de orden 3 con \( x_0 = 0 \), primero necesitamos el desarrollo de Taylor de \( \cos(x) \) alrededor de \( x_0 = 0 \).

El polinomio de Taylor de \( \cos(x) \) hasta el término cúbico se puede escribir como:

\[
P_3(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + \frac{f''(0)}{2!}(x - 0)^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}(x - 0)^3
\]

Para \( f(x) = \cos(x) \), las derivadas son:
- \( f(0) = \cos(0) = 1 \)
- \( f'(x) = -\sin(x) \), por lo que \( f'(0) = -\sin(0) = 0 \)
- \( f''(x) = -\cos(x) \), por lo que \( f''(0) = -\cos(0) = -1 \)
- \( f^{(3)}(x) = \sin(x) \), por lo que \( f^{(3)}(0) = \sin(0) = 0 \)

Ahora, sustituimos estas derivadas en el polinomio de Taylor:

\[
P_3(x) = 1 + 0 \cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 + 0 \cdot x^3
\]

Esto se simplifica a:

\[
P_3(x) = 1 - \frac{x^2}{2}
\]

Para \( x = 0.001 \), el valor aproximado será:

\[
P_3(0.001) = 1 - \frac{(0.001)^2}{2} = 1 - \frac{0.000001}{2} = 1 - 0.0000005 = 0.9999995
\]

Por lo tanto, el valor aproximado de \( \cos(0.001) \) usando el polinomio de Taylor de orden 3 es:

\[
\cos(0.001) \approx 0.9999995
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se derivan los términos del polinomio de Taylor?
2. ¿Qué tan preciso es el polinomio de Taylor de orden 3 para aproximar funciones trigonométricas?
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4. ¿Cómo afectaría añadir términos de orden superior al polinomio de Taylor?
5. ¿Cómo se desarrolla el polinomio de Taylor para funciones diferentes a \( \cos(x) \)?

**Tip**: El polinomio de Taylor es más preciso cuanto más cerca está \( x \) de \( x_0 \), que en este caso es 0.

Hallar el valor de: cos(0.001) aplicando del polinomio de Taylor de orden 3, con x0 = 0

Learn how to approximate cos(0.001) using a 3rd-order Taylor polynomial with x0 = 0. This detailed solution includes the Taylor series expansion, key trigonometric concepts, and step-by-step calculations. Suitable for undergraduate calculus students.

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