Una compañía estima que el costo en dólares para producir x artículos es: 
c(𝒙) = 𝟏𝟎𝟎𝟎+𝒙+𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒𝒙𝟐 
a. Encuentra el costo promedio para producir 100 artículos 
b. ¿A cuál nivel de producción el costo promedio será el más bajo y cuál es el costo promedio mínimo? 

Dado el costo total para producir \( x \) artículos, \( c(x) = 1000 + x + 0.0004x^2 \), resolveremos las preguntas planteadas.

### a. Costo promedio para producir 100 artículos

El costo promedio \( \overline{c}(x) \) para producir \( x \) artículos se define como:

\[
\overline{c}(x) = \frac{c(x)}{x}
\]

Sustituyendo \( c(x) = 1000 + x + 0.0004x^2 \):

\[
\overline{c}(x) = \frac{1000 + x + 0.0004x^2}{x} = \frac{1000}{x} + 1 + 0.0004x
\]

Ahora, calculamos el costo promedio cuando \( x = 100 \):

\[
\overline{c}(100) = \frac{1000}{100} + 1 + 0.0004 \times 100
\]

\[
\overline{c}(100) = 10 + 1 + 0.04 = 11.04 \text{ dólares}
\]

El costo promedio para producir 100 artículos es **11.04 dólares**.

### b. Nivel de producción para el costo promedio más bajo y costo promedio mínimo

Para encontrar el nivel de producción en el que el costo promedio es mínimo, debemos minimizar la función del costo promedio \( \overline{c}(x) \):

\[
\overline{c}(x) = \frac{1000}{x} + 1 + 0.0004x
\]

Primero, derivamos \( \overline{c}(x) \) respecto a \( x \) y luego encontramos el valor de \( x \) que hace que la derivada sea cero.

\[
\frac{d\overline{c}(x)}{dx} = -\frac{1000}{x^2} + 0.0004
\]

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

\[
-\frac{1000}{x^2} + 0.0004 = 0
\]

\[
\frac{1000}{x^2} = 0.0004
\]

\[
x^2 = \frac{1000}{0.0004} = 2500000
\]

\[
x = \sqrt{2500000} = 1581.14 \text{ artículos}
\]

El nivel de producción para el costo promedio más bajo es **1581.14 artículos** (o aproximadamente 1581 artículos).

Ahora, calculamos el costo promedio mínimo substituyendo este valor de \( x \) en \( \overline{c}(x) \):

\[
\overline{c}(1581.14) = \frac{1000}{1581.14} + 1 + 0.0004 \times 1581.14
\]

\[
\overline{c}(1581.14) \approx 0.6324 + 1 + 0.6324 = 2.2648 \text{ dólares}
\]

El costo promedio mínimo es aproximadamente **2.26 dólares**.

---

¿Te gustaría algún detalle adicional o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Qué sucede con el costo promedio si se duplican los artículos a producir?
2. ¿Cómo afecta un cambio en el coeficiente del término cuadrático al costo promedio?
3. ¿Qué significado tiene el punto donde el costo promedio es mínimo?
4. ¿Cómo se relaciona el costo marginal con el costo promedio?
5. ¿Qué ocurre con el costo total si se producen muy pocos o muchos artículos?

**Tip:** Cuando minimizas una función, derivar y encontrar los puntos críticos te ayuda a identificar el valor óptimo, pero no olvides verificar si es un mínimo o un máximo con la segunda derivada.

Explore how to calculate average production costs and optimize production levels based on a given cost function c(x). Understand the mathematical approach to finding the minimum average cost and its practical implications. Suitable for university-level students and professionals.

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