Los estudiantes llegan a la oficina de servicios administrativos de su escuela en un promedio de uno cada 15 minutos. Mientras que los procesamientos d sus solicitudes lleva 10 minutos en promedio. El mostrador de servicio solo tiene una empelada, Judy Gumshoes, que trabaja ocho horas al día; suponga llegadas Poisson y tiempos de servicio exponencial para contestar las siguientes preguntas: • ¿Qué porcentaje del tiempo esta inactiva Judy? 
 •¿Cuál es el promedio del tiempo que espera un estudiante en la fila?
  •¿Cuál es el promedio de la longitud de la fila de espera? 
• ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que llega a la oficina de servicios administrativos encuentre por lo menos a un estudiante esperando en la fila.


Este problema también puede resolverse utilizando la teoría de colas para un sistema M/M/1, donde hay llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales con un solo servidor (en este caso, Judy Gumshoes).

**Datos:**

- **Tasa de llegada (\(\lambda\))**: 1 estudiante cada 15 minutos, lo que equivale a \(\lambda = 4\) estudiantes por hora.
- **Tasa de servicio (\(\mu\))**: 1 solicitud cada 10 minutos, lo que equivale a \(\mu = 6\) solicitudes por hora.

### 1. ¿Qué porcentaje del tiempo está inactiva Judy?
El porcentaje de tiempo que Judy está inactiva es igual a \(1 - \rho\), donde \(\rho\) es la utilización.

Primero, calculemos la utilización (\(\rho\)):

\[
\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.67
\]

Entonces, el porcentaje del tiempo que Judy está inactiva es:

\[
1 - \rho = 1 - 0.67 = 0.33 \text{ o } 33\%
\]

### 2. ¿Cuál es el promedio del tiempo que espera un estudiante en la fila (\(W_q\))?
El tiempo promedio de espera en la fila se calcula como:

\[
W_q = \frac{\rho}{\mu(1-\rho)}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
W_q = \frac{\frac{2}{3}}{6(1-\frac{2}{3})} = \frac{\frac{2}{3}}{6 \times \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3} \text{ horas} = 20 \text{ minutos}
\]

### 3. ¿Cuál es el promedio de la longitud de la fila de espera (\(L_q\))?
El promedio de la longitud de la fila de espera se calcula con:

\[
L_q = \lambda \times W_q
\]

Sustituyendo los valores:

\[
L_q = 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \text{ estudiantes} \approx 1.33 \text{ estudiantes}
\]

### 4. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que llega a la oficina de servicios administrativos encuentre por lo menos a un estudiante esperando en la fila?
La probabilidad de que un estudiante encuentre por lo menos a un estudiante esperando en la fila es igual a \(\rho\):

\[
P(\text{al menos un estudiante en la fila}) = \rho = \frac{2}{3} \approx 0.67 \text{ o } 67\%
\]

**Resumiendo:**

1. **Porcentaje del tiempo que Judy está inactiva:** 33%.
2. **Promedio del tiempo que espera un estudiante en la fila:** 20 minutos.
3. **Promedio de la longitud de la fila de espera:** 1.33 estudiantes.
4. **Probabilidad de que un estudiante encuentre a alguien esperando en la fila:** 67%.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta específica sobre alguna parte del proceso?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Qué pasaría si el tiempo de procesamiento de las solicitudes aumentara a 15 minutos?
2. ¿Cómo cambiarían los resultados si llegaran 2 estudiantes cada 15 minutos?
3. ¿Qué ocurriría si se añadiera una segunda empleada que pudiera procesar solicitudes al mismo ritmo?
4. ¿Cómo afectaría la disminución del tiempo de servicio a 5 minutos los tiempos de espera?
5. ¿Qué implicaciones tiene un alto valor de \(\rho\) en la satisfacción de los estudiantes con el servicio?

**Tip:** En sistemas de colas, reducir la tasa de llegada o aumentar la tasa de servicio (por ejemplo, añadiendo más personal) puede ayudar a reducir los tiempos de espera y las longitudes de fila, mejorando la eficiencia del servicio.

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