A una cabina de peaje llegan vehículos según un proceso de
Poisson, con una media de 90 vehículos por hora. El tiempo en
pasar por la cabina se distribuye exponencialmente con un
promedio de 38 segundos. El concesionario se plantea reducir
este promedio a 30 segundos instalando dispositivos de cobro
automático siempre que se satisfagan dos condiciones: que la
cantidad promedio actual de vehículos en el sistema sea mayor
que 5 y que el porcentaje de tiempo ocioso de la cabina con el
nuevo dispositivo sea menor que el 10%. Con estas condiciones;
¿se puede justificar la instalación del dispositivo automático?                           Preguntas: 1. Describa las características del sistema actual mediante los
indicadores utilizados en Líneas de Espera (Tasa de llegadas, Tasa de
atención, Cantidad de clientes en el sistema y en cola, Tiempos en el
sistema y en cola)
2. Analice y describa de igual manera el sistema propuesto
3. Verifique que tales características cumplan con las condiciones
planteadas por el Concesionario
4. Elabore un breve informe fundamentando el resultado de su análisis

Para resolver este problema de instalación de dispositivos automáticos en una cabina de peaje, modelaremos el sistema como una línea de espera o sistema de colas **M/M/1** (Poisson/exponencial/1 servidor). Este modelo es adecuado porque:

- Los vehículos llegan de manera aleatoria (según un proceso de Poisson).
- El tiempo de servicio es exponencial (38 segundos promedio actualmente).
- Solo hay un servidor (la cabina de peaje).

### Paso 1: Características del sistema actual

#### Tasa de llegada (\(\lambda\)) y tasa de servicio (\(\mu\)) actuales:

- **Tasa de llegada (\(\lambda\)):** Los vehículos llegan a un promedio de 90 vehículos por hora.
  \[
  \lambda = 90 \text{ vehículos/hora}
  \]
  
- **Tasa de servicio (\(\mu\)):** El tiempo promedio en pasar por la cabina es de 38 segundos por vehículo, lo que equivale a:
  \[
  \mu = \frac{3600}{38} \approx 94.74 \text{ vehículos/hora}
  \]

#### Utilización del sistema (\(\rho\)):

La utilización es el porcentaje del tiempo que el sistema está ocupado atendiendo vehículos. Se calcula como:
\[
\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{90}{94.74} \approx 0.95 \text{ o 95%}
\]
Esto significa que la cabina está ocupada el 95% del tiempo, y está ociosa el 5% del tiempo.

#### Cantidad promedio de vehículos en el sistema (L):

La cantidad promedio de vehículos en el sistema (\(L\)) se calcula usando la fórmula:
\[
L = \frac{\rho}{1-\rho} = \frac{0.95}{1-0.95} = 19
\]
Esto significa que, en promedio, hay 19 vehículos entre la cabina y la cola esperando.

#### Cantidad promedio de vehículos en la cola (Lq):

La cantidad promedio de vehículos esperando en la cola (\(L_q\)) es:
\[
L_q = L - \frac{\lambda}{\mu} = 19 - 0.95 \approx 18.05
\]

#### Tiempo promedio en el sistema (W):

El tiempo promedio que un vehículo pasa en el sistema (incluyendo el tiempo de espera y el tiempo de servicio) es:
\[
W = \frac{1}{\mu(1-\rho)} = \frac{1}{94.74 \times (1 - 0.95)} = \frac{1}{4.737} \approx 0.211 \text{ horas} = 12.66 \text{ minutos}
\]

#### Tiempo promedio en la cola (Wq):

El tiempo promedio que un vehículo pasa esperando en la cola es:
\[
W_q = W - \frac{1}{\mu} = 0.211 - \frac{1}{94.74} \approx 0.211 - 0.0106 = 0.2004 \text{ horas} = 12.03 \text{ minutos}
\]

### Paso 2: Características del sistema propuesto (con dispositivo automático)

Ahora analizamos el sistema si se instala el dispositivo de cobro automático, lo que reduciría el tiempo de servicio promedio de 38 a 30 segundos.

#### Nueva tasa de servicio (\(\mu\)):

Si el tiempo promedio de servicio se reduce a 30 segundos, la nueva tasa de servicio será:
\[
\mu_{\text{nuevo}} = \frac{3600}{30} = 120 \text{ vehículos/hora}
\]

#### Nueva utilización (\(\rho\)):

La nueva utilización sería:
\[
\rho_{\text{nuevo}} = \frac{\lambda}{\mu_{\text{nuevo}}} = \frac{90}{120} = 0.75 \text{ o 75%}
\]
Esto indica que el sistema estaría ocupado el 75% del tiempo y ocioso el 25% del tiempo.

#### Nueva cantidad promedio de vehículos en el sistema (L):

\[
L_{\text{nuevo}} = \frac{\rho_{\text{nuevo}}}{1 - \rho_{\text{nuevo}}} = \frac{0.75}{1 - 0.75} = 3
\]

#### Nueva cantidad promedio de vehículos en la cola (Lq):

\[
L_{q_{\text{nuevo}}} = L_{\text{nuevo}} - \frac{\lambda}{\mu_{\text{nuevo}}} = 3 - 0.75 = 2.25
\]

#### Nuevo tiempo promedio en el sistema (W):

\[
W_{\text{nuevo}} = \frac{1}{\mu_{\text{nuevo}}(1-\rho_{\text{nuevo}})} = \frac{1}{120 \times (1 - 0.75)} = \frac{1}{30} \approx 0.0333 \text{ horas} = 2 \text{ minutos}
\]

#### Nuevo tiempo promedio en la cola (Wq):

\[
W_{q_{\text{nuevo}}} = W_{\text{nuevo}} - \frac{1}{\mu_{\text{nuevo}}} = 0.0333 - \frac{1}{120} \approx 0.0333 - 0.0083 = 0.025 \text{ horas} = 1.5 \text{ minutos}
\]

### Paso 3: Verificación de las condiciones del concesionario

#### 1. La cantidad promedio actual de vehículos en el sistema sea mayor que 5:

Actualmente, hay 19 vehículos en el sistema, lo cual es mayor que 5, por lo que esta condición **se cumple**.

#### 2. El porcentaje de tiempo ocioso con el nuevo dispositivo sea menor que 10%:

Con el nuevo dispositivo, el tiempo ocioso es del 25%, lo que es mayor que el 10%, por lo que esta condición **no se cumple**.

### Paso 4: Informe

En conclusión, la instalación del dispositivo automático no se justifica porque, aunque la cantidad promedio de vehículos en el sistema actual supera los 5, el nuevo sistema tendría un tiempo ocioso del 25%, lo cual es significativamente mayor al 10% requerido por el concesionario. Por lo tanto, no se cumplirían todas las condiciones planteadas para justificar la inversión en el dispositivo.

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¿Te gustaría profundizar en algún cálculo o tienes alguna duda adicional?

### Preguntas Relativas:
1. ¿Cómo influye la tasa de llegada en la utilización del sistema?
2. ¿Cuál sería el efecto de aumentar la tasa de llegada a 100 vehículos por hora?
3. ¿Cómo afectaría el número de servidores (más cabinas) a los tiempos de espera?
4. ¿Qué sucedería si el tiempo promedio de servicio fuera aún más rápido, de 20 segundos?
5. ¿Cómo cambia la cantidad promedio de vehículos en cola si la tasa de servicio aumenta gradualmente?

### Tip:
En sistemas de espera, reducir el tiempo de servicio no siempre mejora los resultados si no se tiene en cuenta el impacto en la utilización del sistema.

A una cabina de peaje llegan vehículos según un proceso de Poisson, con una media de 90 vehículos por hora. El tiempo en pasar por la cabina se distribuye exponencialmente con un promedio de 38 segundos. El concesionario se plantea reducir este promedio a 30 segundos instalando dispositivos de cobro automático siempre que se satisfagan dos condiciones: que la cantidad promedio actual de vehículos en el sistema sea mayor que 5 y que el porcentaje de tiempo ocioso de la cabina con el nuevo dispositivo sea menor que el 10%. Con estas condiciones, ¿se puede justificar la instalación del dispositivo automático?

Este problema analiza una cabina de peaje usando teoría de colas (M/M/1) con llegadas de vehículos según un proceso de Poisson y tiempo de servicio exponencial. La solución incluye cálculos de la tasa de llegada, tasa de servicio, utilización, tiempos promedio en el sistema y la cola, con un análisis del impacto de un dispositivo automático. Adecuado para estudiantes de matemáticas aplicadas o investigación operativa a nivel universitario.

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