EJERCICIO # 3
Quick Lube Inc opera un taller de cambio rápido de aceite y lubricante; en un día típico, los
clientes llegan en una tasa de tres por hora, y los trabajos de lubricación se desempeñan con
una rapidez promedio de uno cada 15 minutos: Los mecánicos operan en equipo y trabajan
en un solo automóvil a la vez.
Suponiendo llegadas de Poisson y un servicio exponencial, encuentre:
1. La utilización del equipo de lubricación.
2. El numero promedio de automóviles en la fila
3. El tiempo promedio que espera un automóvil antes de la lubricación.
4. El tiempo total que se requiere para pasar por todo el sistema.

Este problema se enmarca dentro de la teoría de colas, específicamente en un sistema M/M/1 (llegadas de Poisson y servicio exponencial con un solo servidor). Vamos a resolver cada una de las preguntas paso a paso.

**Datos:**

- **Tasa de llegada (\(\lambda\))**: 3 autos por hora.
- **Tasa de servicio (\(\mu\))**: 4 autos por hora (ya que un servicio demora 15 minutos, es decir, \(\mu = \frac{1}{15\text{ min}} = \frac{1}{\frac{1}{4}\text{ hr}} = 4 \text{ autos/hr}\)).

### 1. La utilización del equipo de lubricación (\(\rho\))
La utilización (\(\rho\)) se calcula como la razón entre la tasa de llegada y la tasa de servicio:

\[
\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{3}{4} = 0.75
\]

Esto significa que el equipo de lubricación está ocupado el 75% del tiempo.

### 2. El número promedio de automóviles en la fila (\(L_q\))
Para un sistema M/M/1, el número promedio de automóviles en la fila se calcula con la fórmula:

\[
L_q = \frac{\rho^2}{1-\rho}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
L_q = \frac{0.75^2}{1-0.75} = \frac{0.5625}{0.25} = 2.25 \text{ autos}
\]

### 3. El tiempo promedio que espera un automóvil antes de la lubricación (\(W_q\))
El tiempo promedio de espera en la fila se calcula con:

\[
W_q = \frac{L_q}{\lambda}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
W_q = \frac{2.25}{3} = 0.75 \text{ horas} = 45 \text{ minutos}
\]

### 4. El tiempo total que se requiere para pasar por todo el sistema (\(W\))
El tiempo total que un automóvil pasa en el sistema es la suma del tiempo de espera más el tiempo de servicio:

\[
W = W_q + \frac{1}{\mu}
\]

Sustituyendo:

\[
W = 0.75 + \frac{1}{4} = 0.75 + 0.25 = 1 \text{ hora}
\]

**Resumiendo:**

1. **Utilización del equipo de lubricación:** 0.75 (75%).
2. **Número promedio de automóviles en la fila:** 2.25 autos.
3. **Tiempo promedio que espera un automóvil antes de la lubricación:** 45 minutos.
4. **Tiempo total que se requiere para pasar por todo el sistema:** 1 hora.

¿Quieres detalles adicionales sobre alguna parte del proceso o algún otro tipo de explicación?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo cambiarían los resultados si la tasa de llegada aumentara a 4 autos por hora?
2. ¿Qué pasaría si los mecánicos pudieran trabajar en dos autos a la vez?
3. ¿Cómo se afectaría la espera si el tiempo promedio de servicio disminuyera a 10 minutos?
4. ¿Qué implicaciones tiene un alto nivel de utilización (\(\rho\)) en el rendimiento del taller?
5. ¿Cómo cambiarían los resultados si la tasa de llegada fuera de 6 autos por hora?

**Tip:** En sistemas de colas, un alto valor de \(\rho\) generalmente implica un mayor tiempo de espera para los clientes, lo que podría llevar a cuellos de botella si no se maneja adecuadamente.

Explore a Queueing Theory problem involving Poisson arrivals and exponential service rates. Calculate utilization of the lubrication equipment, average number of cars in the queue, average waiting time before service, and total time through the system. Suitable for undergraduate-level study of operations research and queueing theory.

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