lim
x→0−
cos x
x
= −∞,
pois lim
x→0−
cos x = cos 0 = 1 e, para x ∈ (−π/2, 0), cos x > 0 donde conclu´ımos que cos x
x
< 0
nesse intervalo. Portanto, do Teorema 2.69 o resultado segue.

A análise do limite fornecido pode ser esclarecida da seguinte forma:

1. **Definição do Problema:**
   Temos o limite \(\lim_{x \to 0^-} \frac{\cos x}{x}\).

2. **Comportamento de \(\cos x\) para \(x \to 0^-\):**
   Sabemos que \(\lim_{x \to 0^-} \cos x = \cos(0) = 1\). Ou seja, à medida que \(x\) se aproxima de 0 pela esquerda (\(x \to 0^-\)), o valor de \(\cos x\) tende a 1.

3. **Comportamento do denominador \(x\) para \(x \to 0^-\):**
   Como \(x\) se aproxima de 0 pela esquerda (\(x \to 0^-\)), \(x\) é negativo e pequeno, o que faz com que o denominador seja negativo e próximo de 0.

4. **Análise do sinal da fração \(\frac{\cos x}{x}\):**
   No intervalo \(x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)\), sabemos que \(\cos x > 0\), ou seja, \(\cos x\) é positivo. Assim, para valores de \(x\) negativos próximos de 0, temos:

   \[
   \frac{\cos x}{x} = \frac{\text{positivo}}{\text{negativo}} < 0
   \]

   Portanto, a fração é negativa.

5. **Comportamento do limite:**
   À medida que \(x \to 0^-\), o valor absoluto de \(x\) diminui, tornando o denominador da fração cada vez menor em magnitude (próximo de 0), o que faz com que o valor da fração \(\frac{\cos x}{x}\) tenda para \(-\infty\).

6. **Conclusão:**
   Portanto, o limite é:

   \[
   \lim_{x \to 0^-} \frac{\cos x}{x} = -\infty
   \]

   **Aplicação do Teorema:**
   De acordo com o Teorema 2.69, que trata da convergência de funções e do comportamento assintótico, a conclusão segue naturalmente da análise anterior.

---

**Perguntas Relacionadas:**

1. Como o teorema 2.69 é aplicado em diferentes tipos de limites envolvendo funções trigonométricas?
2. Como o comportamento de \(\cos x\) muda quando consideramos o limite para \(x \to 0^+\)?
3. Quais são os casos em que limites tendendo ao infinito podem ser aplicados em problemas práticos?
4. Como podemos interpretar graficamente o comportamento de \(\frac{\cos x}{x}\) perto de \(x = 0\)?
5. Como o uso de teoremas de limite ajuda na resolução de problemas complexos de cálculo diferencial?

**Dica:** Sempre verifique o comportamento de uma função tanto no numerador quanto no denominador ao analisar limites indeterminados.

Explore the analysis of the limit lim x→0− cos(x)/x with a detailed explanation using trigonometric functions and the Squeeze Theorem. Understand the behavior of cos(x) and x as x approaches 0 from the left. Suitable for advanced undergraduate students and calculus enthusiasts.

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