El Concurso Internacional de Programación (ICP) se desarrolla cada año a nivel mundial. UAPA ha entrenado 9 equipos de programadores de 3 participantes cada uno, pero a la Regional del Caribe solamente se elegirán 3 equipos. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar los 9 participantes que asistirán al evento, representando los 3 equipos de UAPA?

Para resolver este problema, debemos calcular de cuántas maneras se pueden seleccionar 9 participantes de un total de 27 programadores (9 equipos de 3 participantes cada uno), para formar 3 equipos de 3 participantes que asistirán al evento.

### Paso 1: Calcular el total de participantes
Como hay 9 equipos con 3 participantes cada uno, tenemos un total de:

\[ 9 \times 3 = 27 \text{ participantes} \]

### Paso 2: Seleccionar los 9 participantes
Primero, seleccionamos 9 participantes de entre los 27. Esto se hace utilizando la combinación:

\[
\binom{27}{9}
\]

### Paso 3: Dividir a los 9 participantes en 3 equipos
Luego, debemos dividir estos 9 participantes seleccionados en 3 equipos de 3 participantes cada uno. Sin embargo, hay que considerar que el orden de los equipos no importa. Para esto, calculamos el número de formas de organizar 9 elementos en 3 grupos de 3, lo cual es:

\[
\frac{9!}{(3!)^3 \times 3!}
\]

Donde:
- \( 9! \) es el número de formas de ordenar los 9 participantes.
- \( (3!)^3 \) es la corrección por las permutaciones dentro de cada equipo (puesto que el orden dentro del equipo no importa).
- \( 3! \) es la corrección por las permutaciones entre los equipos (ya que el orden de los equipos no importa).

### Paso 4: Multiplicar ambos resultados
Entonces, el número total de maneras de seleccionar y organizar a los 9 participantes en 3 equipos es:

\[
\binom{27}{9} \times \frac{9!}{(3!)^3 \times 3!}
\]

### Cálculos:

1. **Combinación \( \binom{27}{9} \):**
   \[
   \binom{27}{9} = \frac{27!}{9!(27-9)!} = \frac{27!}{9! \times 18!}
   \]

2. **Permutaciones de 9 elementos en 3 equipos de 3:**
   \[
   \frac{9!}{(3!)^3 \times 3!} = \frac{362880}{(6)^3 \times 6} = \frac{362880}{216 \times 6} = \frac{362880}{1296} = 280
   \]

### Resultado final:
Entonces, el número total de formas de seleccionar los 9 participantes y organizarlos en 3 equipos es:

\[
\binom{27}{9} \times 280
\]

Para una respuesta numérica exacta, podemos calcular la combinación y multiplicar por 280.

¿Quieres que realice el cálculo exacto o tienes alguna pregunta adicional sobre el proceso?

Explore how to calculate the number of ways to select 9 participants from 27 programmers and organize them into 3 teams of 3. This problem involves combinatorial mathematics, including binomial coefficients and factorial calculations. Suitable for advanced high school students.

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