Exercice 1
10 délégués de classe se réunissent pour former le bureau du foyer.
105
1. Sachant qu’un bureau est composé de 3 membres, quel est le nombre de bureaux possibles ?
2. Sachant qu’un bureau est composé d’un président, d’un trésorier et d’un secrétaire, quel est le nombre de bureaux possibles
a) si l’on suppose qu’il n’y a pas de cumul ?
b) si l’on suppose qu’il y a cumul ?

### 1. Nombre de bureaux possibles (sans rôle spécifique)

Un bureau est composé de 3 membres parmi les 10 délégués. Le nombre de combinaisons possibles pour choisir 3 personnes parmi 10 est donné par la formule des combinaisons :

\[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

Ici, \( n = 10 \) et \( k = 3 \), donc :

\[
C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120
\]

Le nombre de bureaux possibles est **120**.

---

### 2. Nombre de bureaux possibles avec des rôles spécifiques

Dans ce cas, il y a des rôles distincts : président, trésorier, et secrétaire.

#### a) **Sans cumul de fonctions**

Les 3 rôles doivent être attribués à des personnes différentes. Il s'agit d'un problème de permutation, car l'ordre des personnes compte. Le nombre de façons de choisir 3 membres distincts parmi les 10 pour remplir ces rôles est donné par la formule des permutations :

\[
P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}
\]

Ici, \( n = 10 \) et \( k = 3 \), donc :

\[
P(10, 3) = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \times 9 \times 8 = 720
\]

Le nombre de bureaux possibles est donc **720**.

#### b) **Avec cumul de fonctions**

Si le cumul des fonctions est permis, cela signifie qu'une même personne peut occuper plusieurs rôles. Ainsi, pour chaque rôle (président, trésorier, secrétaire), on peut choisir parmi les 10 délégués. Le nombre total de bureaux possibles est donc :

\[
10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000
\]

Le nombre de bureaux possibles avec cumul est donc **1000**.

---

### Récapitulatif des réponses :
1. Nombre de bureaux possibles sans rôle spécifique : **120**
2. Nombre de bureaux possibles avec des rôles spécifiques :
   - a) Sans cumul : **720**
   - b) Avec cumul : **1000**

---

Est-ce que vous souhaitez plus de détails sur une des parties ? Voici quelques questions connexes :

1. Comment est définie la formule des combinaisons ?
2. Pourquoi les permutations prennent-elles en compte l'ordre des éléments ?
3. Quelle est la différence entre les combinaisons et les permutations ?
4. Dans quelles situations les rôles cumulés sont-ils permis dans la réalité ?
5. Comment calculer les combinaisons si on veut plus de 3 membres dans le bureau ?

**Tip** : Quand l'ordre compte dans un choix, on utilise les **permutations**. Sinon, on utilise les **combinaisons** !

Exercice 1
10 délégués de classe se réunissent pour former le bureau du foyer.
1. Sachant qu’un bureau est composé de 3 membres, quel est le nombre de bureaux possibles ?
2. Sachant qu’un bureau est composé d’un président, d’un trésorier et d’un secrétaire, quel est le nombre de bureaux possibles
a) si l’on suppose qu’il n’y a pas de cumul ?
b) si l’on suppose qu’il y a cumul ?

Learn how to calculate the number of possible ways to form a 3-member committee from 10 members. This problem explores key combinatorics concepts like combinations and permutations, including the role of ordering. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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