Calcular el volumen del sólido formado al girar la región limitada 
por y= x^2  , y = 0 y x = 2 , alrededor de: a) eje x, b) de y = 4.

### a) **Volumen alrededor del eje \(x\):**

El método adecuado para este tipo de problemas es el de **discos**. Aquí se considera el sólido que se forma al rotar la región limitada por \( y = x^2 \), \( y = 0 \), y \( x = 2 \) alrededor del eje \( x \).

La fórmula general para el volumen utilizando el método de discos es:

\[
V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx
\]

En este caso, la función es \( y = x^2 \), por lo que:

\[
V = \pi \int_0^2 (x^2)^2 \, dx = \pi \int_0^2 x^4 \, dx
\]

Calculamos la integral:

\[
V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = \pi \cdot \frac{32}{5}
\]

\[
V = \frac{32\pi}{5}
\]

Por lo tanto, el volumen al girar alrededor del eje \(x\) es \( \frac{32\pi}{5} \) unidades cúbicas.

---

### b) **Volumen alrededor de \( y = 4 \):**

Cuando el sólido se genera al rotar alrededor de una recta horizontal diferente al eje \(x\), como \( y = 4 \), podemos usar el **método de arandelas** (o discos huecos).

La fórmula para el volumen en este caso es:

\[
V = \pi \int_a^b \left[ R(x)^2 - r(x)^2 \right] dx
\]

Donde:
- \( R(x) \) es la distancia desde la recta \( y = 4 \) hasta \( y = 0 \) (el valor máximo de \( y \)),
- \( r(x) \) es la distancia desde \( y = 4 \) hasta la función \( y = x^2 \).

En este caso:
- \( R(x) = 4 \),
- \( r(x) = 4 - x^2 \) (distancia entre \( y = 4 \) y la parábola).

La fórmula para el volumen es:

\[
V = \pi \int_0^2 \left[ 4^2 - (4 - x^2)^2 \right] dx
\]

Calculamos los términos:

\[
V = \pi \int_0^2 \left[ 16 - (16 - 8x^2 + x^4) \right] dx = \pi \int_0^2 \left[ 16 - 16 + 8x^2 - x^4 \right] dx
\]

\[
V = \pi \int_0^2 \left[ 8x^2 - x^4 \right] dx
\]

Resolvemos la integral:

\[
V = \pi \left[ \frac{8x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{8(2^3)}{3} - \frac{2^5}{5} \right)
\]

\[
V = \pi \left( \frac{64}{3} - \frac{32}{5} \right)
\]

Ahora calculamos el valor numérico de la expresión:

\[
V = \pi \left( \frac{320}{15} - \frac{96}{15} \right) = \pi \cdot \frac{224}{15}
\]

\[
V = \frac{224\pi}{15}
\]

Por lo tanto, el volumen al girar alrededor de \( y = 4 \) es \( \frac{224\pi}{15} \) unidades cúbicas.

---

¿Te gustaría una explicación más detallada de algún paso o tienes preguntas?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se utiliza el método de capas cilíndricas en estos problemas?
2. ¿Cómo se calcula el volumen si la rotación es alrededor del eje \( y \)?
3. ¿Qué sucede si en lugar de girar la parábola, giramos una línea?
4. ¿Cómo afecta el cambio de límite de integración en el resultado?
5. ¿Cuál es la diferencia entre el método de discos y el de arandelas?

### Tip:
Siempre dibuja la región y el eje de rotación para visualizar mejor el sólido y elegir el método adecuado.

Calcular el volumen del sólido formado al girar la región limitada por y= x^2, y = 0 y x = 2, alrededor de: a) eje x, b) de y = 4.

Calculate the volume of the solid formed by rotating the region bounded by y=x^2, y=0, and x=2 about the x-axis and y=4. Learn how to apply the disk and washer methods for volumes of revolution. This step-by-step solution is ideal for university-level calculus students.

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