Seja 
\[R\] a região delimitada pelo eixo 
\[x\], pela reta 
\[x=1\], pela reta 
\[x=2\] e pela curva 
\[y=x^2\].Um sólido é gerado pela rotação de 
\[R\] ao redor do eixo 
\[x\].
Qual é o volume do sólido?
Dê uma resposta exata em função de 
\[\pi\].

Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região \( R \) ao redor do eixo \( x \), utilizamos o método dos discos. A fórmula para o volume \( V \) de um sólido de revolução é dada por:

\[
V = \int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 \, dx
\]

Aqui, \( f(x) = x^2 \) representa a curva que delimita a região \( R \), e os limites de integração são \( x = 1 \) e \( x = 2 \).

Substituindo na fórmula:

\[
V = \int_{1}^{2} \pi [x^2]^2 \, dx
\]

Simplificando:

\[
V = \pi \int_{1}^{2} x^4 \, dx
\]

Agora, precisamos calcular a integral:

\[
\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}
\]

Aplicando os limites de integração:

\[
V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{2} = \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} \right)
\]

Simplificando:

\[
V = \pi \left( \frac{32}{5} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{31}{5} \right) = \frac{31\pi}{5}
\]

Portanto, o volume exato do sólido é:

\[
V = \frac{31\pi}{5}
\]

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

### Perguntas Relacionadas:
1. Como o método dos discos difere do método das cascas cilíndricas?
2. Como calcularíamos o volume se a região fosse rotacionada em torno do eixo \( y \)?
3. O que aconteceria com o volume se a curva fosse \( y = x^3 \)?
4. Como calcular a área da região \( R \) antes de rotacioná-la?
5. Como a escolha dos limites de integração afeta o resultado final?
6. Como encontrar o volume se a curva fosse \( y = x \) ao invés de \( y = x^2 \)?
7. Qual é a interpretação geométrica do resultado \( V = \frac{31\pi}{5} \)?
8. Como o resultado mudaria se a região \( R \) fosse rotacionada em torno de uma linha diferente, como \( y = -1 \)?

### Dica:
Para lembrar a fórmula do volume usando o método dos discos, visualize que a soma dos volumes dos discos é uma aproximação do volume total, e ao tomar o limite, obtemos a integral.

Learn how to calculate the volume of a solid generated by rotating the region bounded by the x-axis, x=1, x=2, and y=x^2 around the x-axis. The solution involves using integral calculus and the method of disks. Get an exact answer in terms of pi.

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