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Comprueba si las funciones son soluciones de la ecuación diferencial, muestra el procedimiento y solucion

Para verificar si las funciones proporcionadas son soluciones de la ecuación diferencial, sigamos el procedimiento.

La ecuación diferencial que tenemos es:

\[
y'' - 2y' + 3y = 0
\]

Y nos dan las siguientes funciones:

- \( y_1 = e^x \sin(\sqrt{2}x) \)
- \( y_2 = 3e^x (\sin(\sqrt{2}x) + \cos(\sqrt{2}x)) \)

Para verificar si estas funciones son soluciones, debemos hacer lo siguiente:

1. Derivar \( y_1 \) y \( y_2 \) dos veces para encontrar \( y_1'' \) y \( y_2'' \).
2. Sustituir \( y_1, y_1', y_1'' \) y lo mismo para \( y_2 \) en la ecuación diferencial.
3. Verificar si se cumple la igualdad.

Voy a hacer primero el procedimiento para \( y_1 \).Para \( y_1 = e^x \sin(\sqrt{2}x) \), hemos calculado las siguientes derivadas:

1. Primera derivada \( y_1' \):
\[
y_1' = e^x \sin(\sqrt{2}x) + \sqrt{2} e^x \cos(\sqrt{2}x)
\]

2. Segunda derivada \( y_1'' \):
\[
y_1'' = -e^x \sin(\sqrt{2}x) + 2\sqrt{2} e^x \cos(\sqrt{2}x)
\]

Ahora sustituimos \( y_1, y_1' \) y \( y_1'' \) en la ecuación diferencial \( y'' - 2y' + 3y = 0 \) y verificamos si se cumple la igualdad.

Calculemos los términos para comprobar si la función es una solución.Al sustituir \( y_1, y_1' \) y \( y_1'' \) en la ecuación diferencial \( y'' - 2y' + 3y = 0 \), obtenemos:

\[
0
\]

Esto significa que la función \( y_1 = e^x \sin(\sqrt{2}x) \) es una solución de la ecuación diferencial.

Voy a realizar el mismo procedimiento para la función \( y_2 = 3e^x (\sin(\sqrt{2}x) + \cos(\sqrt{2}x)) \).It seems like I can’t do more advanced data analysis right now. Please try again later.

Would you like to proceed with some other steps, or do you have any questions about the work so far?

Here are five related questions you might consider:
1. How are the general solutions of second-order differential equations found?
2. Can complex roots in the characteristic equation affect the solutions?
3. How would you verify other potential solutions to this equation?
4. What types of problems use equations like \( y'' - 2y' + 3y = 0 \)?
5. How would you apply initial conditions to these solutions?

**Tip**: When working with second-order differential equations, always check for linear independence of the solutions to ensure they form a complete set.

Comprueba si las funciones son soluciones de la ecuación diferencial, muestra el procedimiento y solucion.

This solution checks if the functions y1 = e^x * sin(sqrt(2) * x) and y2 = 3e^x * (sin(sqrt(2) * x) + cos(sqrt(2) * x)) are solutions to the second-order differential equation y'' - 2y' + 3y = 0 by calculating first and second derivatives and substituting them into the equation.

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