 La función y = xe” es 
es, por definición, la raíz cuadrada 
una solución de la ecuación lineal
 y"- 2y'+y= 0

Para resolver el problema y verificar si la función \( y = xe^x \) es una solución de la ecuación lineal dada \( y'' - 2y' + y = 0 \), seguimos estos pasos:

1. **Calcular la primera derivada \( y' \):**

   La función es \( y = xe^x \). Aplicamos la regla del producto:

   \[
   y' = \frac{d}{dx}(xe^x) = e^x + xe^x
   \]

2. **Calcular la segunda derivada \( y'' \):**

   Derivamos \( y' = e^x + xe^x \) respecto a \( x \):

   \[
   y'' = \frac{d}{dx}(e^x + xe^x) = e^x + (e^x + xe^x) = 2e^x + xe^x
   \]

3. **Sustituir en la ecuación diferencial \( y'' - 2y' + y = 0 \):**

   Sustituyendo las derivadas y la función original:

   \[
   y'' - 2y' + y = (2e^x + xe^x) - 2(e^x + xe^x) + xe^x
   \]

   Simplificamos los términos:

   \[
   2e^x + xe^x - 2e^x - 2xe^x + xe^x = 2e^x - 2e^x + xe^x - 2xe^x + xe^x = 0
   \]

   Todos los términos se cancelan, lo que da como resultado:

   \[
   0 = 0
   \]

**Conclusión:**

La función \( y = xe^x \) es efectivamente una solución de la ecuación diferencial \( y'' - 2y' + y = 0 \).

---

¿Quieres más detalles sobre este proceso o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina si una función es solución de una ecuación diferencial?
2. ¿Qué otras funciones pueden ser soluciones de la misma ecuación diferencial?
3. ¿Cómo se pueden resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden de forma general?
4. ¿Qué técnicas existen para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas?
5. ¿Cómo se aplica la regla del producto en otros contextos matemáticos?

**Tip:** Siempre verifica tus derivadas cuidadosamente para evitar errores comunes, especialmente cuando trabajas con funciones más complejas.

Explore how the function y = xe^x satisfies the linear differential equation y'' - 2y' + y = 0 through detailed step-by-step analysis. This problem demonstrates the application of differential calculus, including derivatives of exponential and product functions. Suitable for advanced high school students and beyond.

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