si te doy la funcion original y= 2^3-x - 2 y su inversa y= 3 log de base 2 (x+2), como compruebas que si es su inversa?

Para comprobar que una función es la inversa de otra, necesitamos verificar que la composición de las dos funciones resulte en la identidad, es decir, que cuando aplicamos una función a su inversa (y viceversa), el resultado sea el valor original de la variable independiente. Esto se hace en dos pasos:

### Funciones dadas:
1. **Función original**: \( y = 2^{3-x} - 2 \)
2. **Función inversa**: \( y = 3 \log_2 (x+2) \)

### Paso 1: Comprobar que \( f(f^{-1}(x)) = x \)

- Empezamos sustituyendo \( x \) en la función original por la función inversa:
  \[
  f(f^{-1}(x)) = 2^{3 - \left( 3 \log_2 (x+2) \right)} - 2
  \]
- Simplificamos el exponente:
  \[
  f(f^{-1}(x)) = 2^{3 - 3 \log_2 (x+2)} - 2 = 2^{3} \cdot 2^{-3 \log_2 (x+2)} - 2
  \]
  Aquí usamos la propiedad \( a^{b-c} = a^b \cdot a^{-c} \). Ahora podemos simplificar aún más:
  \[
  f(f^{-1}(x)) = 8 \cdot \left( \frac{1}{(x+2)^3} \right) - 2 = \frac{8}{(x+2)^3} - 2
  \]
  - Al observar la forma, podemos ver que esto no se reduce directamente a \( x \), lo que indica que las funciones no son inversas exactas.

### Paso 2: Comprobar que \( f^{-1}(f(x)) = x \)

- Ahora, sustituimos la función original en la inversa:
  \[
  f^{-1}(f(x)) = 3 \log_2 \left( (2^{3-x} - 2) + 2 \right)
  \]
- Simplificamos:
  \[
  f^{-1}(f(x)) = 3 \log_2 \left( 2^{3-x} \right)
  \]
  - Usando la propiedad \( \log_b(a^c) = c \log_b(a) \):
  \[
  f^{-1}(f(x)) = 3(3-x) = 9 - 3x
  \]
  - Esto tampoco se reduce a \( x \), lo que confirma que estas funciones no son inversas entre sí.

### Conclusión:
La prueba demuestra que **las funciones dadas no son inversas exactas entre sí**, ya que la composición de ambas no devuelve la identidad \( x \). Esto se puede ver claramente al realizar las composiciones y obtener resultados diferentes de \( x \).

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrías considerar:

1. ¿Cómo se derivan las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales?
2. ¿Qué sucede si cambiamos la base del logaritmo en la función inversa?
3. ¿Cómo afecta una traslación en las funciones a sus inversas?
4. ¿Cuál sería el proceso para encontrar la inversa exacta de una función exponencial más compleja?
5. ¿Por qué es importante verificar tanto \( f(f^{-1}(x)) \) como \( f^{-1}(f(x)) \)?

**Tip:** Siempre que quieras comprobar si dos funciones son inversas, asegúrate de verificar ambas composiciones, \( f(f^{-1}(x)) \) y \( f^{-1}(f(x)) \).

Aprende cómo verificar si dos funciones, una exponencial y su supuesta inversa logarítmica, son realmente inversas. Utilizamos las propiedades de logaritmos y exponenciales para comprobar la identidad. Adecuado para estudiantes de los grados 10-12.

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